分析 (Ⅰ)求出函數(shù)的導數(shù),得到關于a,b的方程組,解出即可;
(Ⅱ)求出函數(shù)的導數(shù),令m(x)=x2+(k-1)x+1,通過討論k的范圍,求出函數(shù)的單調區(qū)間,從而求出k的范圍即可.
解答 解:(Ⅰ)∵f′(x)=ax−x2,且直線y=2的斜率為0,又過點(1,2),
∴{f(1)=2f′(1)=0,即{b=1a−b=0解得a=1,b=1.
(Ⅱ)當x>1時,不等式f(x)>(x−k)lnxx−1?(x−1)lnx+x2−1x>(x−k)lnx?(k−1)lnx+x2−1x>0.
令g(x)=(k−1)lnx+x2−1x,g′(x)=k−1x+1+1x2=x2+(k−1)x+1x2,
令m(x)=x2+(k-1)x+1,
①當1−k2≤1,即k≥-1時,m(x)在(1,+∞)單調遞增且m(1)≥0,
所以當x>1時g′(x)>0,g(x)在(1,+∞)單調遞增,
∴g(x)>g(1)=0.即f(x)>(x−k)lnxx−1恒成立.
②當1−k2>1,即k<-1時,m(x)在(1,1−k2)上單調遞減,且m(1)<0,
故當x∈(1,1−k2)時,m(x)<0即g′(x)<0,
所以函數(shù)g(x)在(1,1−k2)單調遞減,
當x∈(1,1−k2)時,g(x)<0,與題設矛盾,
綜上可得k的取值范圍為[-1,+∞).
點評 本題考查了求函數(shù)的單調性問題,考查導數(shù)的應用以及分類討論思想,是一道中檔題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | f(x)=x−12 | B. | f(x)=sin(2x+\frac{π}{2}) | C. | f(x)=3-x-3x | D. | f(x)=x+tanx |
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x | 3 | 4 | 5 | 5 | 7 |
y | 2 | 4 | 5 | 6 | 8 |
A. | (5,5) | B. | (4.5,5) | C. | (4.8,5) | D. | (5,6) |
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A. | \frac{\sqrt{10}}{10} | B. | \frac{\sqrt{10}}{5} | C. | \frac{\sqrt{5}}{5} | D. | \frac{2\sqrt{5}}{5} |
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