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9.已知函數(shù)f(x)=alnx+\frac{x}+1,曲線y=f(x)在點(1,2)處切線平行于x軸.
(Ⅰ)求f(x)的單調區(qū)間;
(Ⅱ)當x>1時,不等式(x-1)f(x)>(x-k)lnx恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.

分析 (Ⅰ)求出函數(shù)的導數(shù),得到關于a,b的方程組,解出即可;
(Ⅱ)求出函數(shù)的導數(shù),令m(x)=x2+(k-1)x+1,通過討論k的范圍,求出函數(shù)的單調區(qū)間,從而求出k的范圍即可.

解答 解:(Ⅰ)∵fx=axx2,且直線y=2的斜率為0,又過點(1,2),
{f1=2f1=0,即{b=1ab=0解得a=1,b=1.
(Ⅱ)當x>1時,不等式fxxklnxx1?x1lnx+x21xxklnx?k1lnx+x21x0
gx=k1lnx+x21xgx=k1x+1+1x2=x2+k1x+1x2,
令m(x)=x2+(k-1)x+1,
①當1k21,即k≥-1時,m(x)在(1,+∞)單調遞增且m(1)≥0,
所以當x>1時g′(x)>0,g(x)在(1,+∞)單調遞增,
∴g(x)>g(1)=0.即fxxklnxx1恒成立.
②當1k21,即k<-1時,m(x)在11k2上單調遞減,且m(1)<0,
故當x11k2時,m(x)<0即g′(x)<0,
所以函數(shù)g(x)在11k2單調遞減,
x11k2時,g(x)<0,與題設矛盾,
綜上可得k的取值范圍為[-1,+∞).

點評 本題考查了求函數(shù)的單調性問題,考查導數(shù)的應用以及分類討論思想,是一道中檔題.

練習冊系列答案
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y24568
則y與x的線性回歸方程為y=bx+a必過( �。�
A.(5,5)B.(4.5,5)C.(4.8,5)D.(5,6)

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(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
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(Ⅰ)求a;
(Ⅱ)若b>1,討論方徎g(x)=ln|x|實數(shù)根的個數(shù);
(Ⅲ)當x∈[\frac{1}{3},\frac{1}{2}]時,關于x的不等式f(1-x)≤lgg(x)有解,求b的取值范圍.

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