Question

【題目】如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．
（1）求證：AC⊥BC1；
（2）求證：AC1∥平面CDB1；
（3）求二面角B﹣DC﹣B1的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵直三棱柱的底面三邊長(zhǎng)分別為3、4、5，∴AC，BC，CC1兩兩垂直，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線CA，CB，CC1分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．

C（0，0，0），A（3，0，0），B（0，4，0），C1（0，0，4），

D ．

∵ ，∴ ，即AC⊥BC1

（2）證明：設(shè)CB1∩C1B=E，則E（0，2，2）， ，

∴ ，即DE∥AC1，∵DE平面CDB1，AC1平面CDB1，

∴AC1∥平面CDB1

（3）解： = ，設(shè)平面CDB1的一個(gè)法向量為 =（x，y，z），則 ，則 ，

可求得平面CDB1的一個(gè)法向量為 =（4，﹣3，3）．

取平面CDB的一個(gè)法向量為 ，

則 = = = ．

由圖可知，二面角B﹣DC﹣B1的余弦值為 ．

【解析】（1）直三棱柱的底面三邊長(zhǎng)分別為3、4、5，∴AC，BC，CC1兩兩垂直，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線CA，CB，CC1分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．只要證明 ，即可證明AC⊥BC1 ． （2）設(shè)CB1∩C1B=E，則E（0，2，2），可得 ，即DE∥AC1 ， 即可證明AC1∥平面CDB1 ． （3）設(shè)平面CDB1的一個(gè)法向量為 =（x，y，z），則 ，可求得平面CDB1的一個(gè)法向量為 ．取平面CDB的一個(gè)法向量為 ，利用 = 即可得出．