Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個頂點為M（0，1），F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為其兩焦點，△MF₁F₂的周長為2

5

+4；
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）以M（0，1）為直角頂點作橢圓C的內(nèi)接等腰直角三角形MAB，這樣的等腰直角三角形是否存在？若存在，請說明有幾個，并求出直角邊所在的直線方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件推導出

b=1 a2-c2=b2 2a+2c=2 5 +4

，同此能求出橢圓C的方程．
（2）假設存在等腰直角三角形MAB，設MA所在直線的方程是y=kx+1（k＞0），則MB所在直線的方程是y=-

1

k

x+1，由

y=kx+1 x2+5y2=5

，得A（-

10k

1+5k2

，-

10k2

1+5k2

+1），由此入手能求出直角邊所在直線的方程．

解答： 解：（1）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個頂點為M（0，1），
F₁，F(xiàn)₂為其兩焦點，△MF₁F₂的周長為2

5

+4，
∴

b=1 a2-c2=b2 2a+2c=2 5 +4

，解得

a= 5 b=1 c=2

．
∴橢圓C的方程是

x2

5

+y2=1．（4分）
（2）假設存在等腰直角三角形MAB，
由題知直角邊MA，MB不可能平行或垂直x軸．
∴設MA所在直線的方程是y=kx+1（k＞0），
則MB所在直線的方程是y=-

1

k

x+1，
由

y=kx+1 x2+5y2=5

，
得A（-

10k

1+5k2

，-

10k2

1+5k2

+1），
∴|MA|=

(- 10k 1+5k2 )2+(- 10k2 1+5k2 )2

=

10k 1+k2

1+5k2

．
用-

1

k

替換上式中的k再取絕對值，得|MB|=

10 1+k2

5+k2

，
由|MA|=|MB|，得k（5+k²）=1+5k²，
解得k=1或k=2±

3

．
∴存在三個內(nèi)接等腰直角三角形MAB．
直角邊所在直線的方程是y=x+1、y=-x+1，或y=(2+

3

)x+1、y=(-2+

3

)x+1，
或y=(2-

3

)x+1、y=-(2+

3

)x+1．（13分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的等腰直角三角形是否存在的判斷與直角邊所在的直線方程的求法，解題時要認真審題，注意兩點間距離公式的合理運用．