Question

在△ABC中，tan

A+B

2

=2sinC．
（I）求∠C的大�。�
（II）若AB=1，求△ABC周長(zhǎng)的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）利用三角形的三角和為π及三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)已知的等式，利用三角形中內(nèi)角的范圍，求出∠C的大小
（II）利用三角形的正弦定理將邊BC，CA用角A的三角函數(shù)表示，利用兩角差的正弦公式展開(kāi)，再利用三角函數(shù)中的公式
asinα+bcosα=

a2+b2

sin(α+θ)將三角形的周長(zhǎng)化簡(jiǎn)成y=Asin（ωx+φ）+k形式，利用三角函數(shù)的有界性求出△ABC周長(zhǎng)的取值范圍．

解答：解：（I）由tan

A+B

2

=2sinC及

A+B

2

=

π

2

-

C

2

，得cot

C

2

=2sinC，
∴

cos C 2

sin C 2

=4sin

C

2

cos

C

2

∵0＜

C

2

＜

π

2

，cos

C

2

＞0，sin

C

2

＞0，
∴sin²

C

2

=

1

4

，sin

C

2

=

1

2

，

C

2

=

π

6

，C=

π

3

．
∴C=

π

3

（II）由正弦定理，得

AB

sinC

=

BC

sinA

=

CA

sinB

=

2 3

3

，
△ABC的周長(zhǎng)y=AB+BC+CA=1+

2 3

3

sinA+

2 3

3

sin(

2π

3

-A）
=1+

2 3

3

(

3

2

sinA+

3

2

cosA)
=1+2sin(A+

π

6

），
∵

π

6

＜A+

π

6

＜

5π

6

，
∴

1

2

＜sin(A+

π

6

）≤1，
所以，△ABC周長(zhǎng)的取值范圍是（2，3]

點(diǎn)評(píng)：解決三角函數(shù)的取值范圍問(wèn)題一般利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、兩個(gè)角的和、差公式、倍角公式以及公式asinα+bcosα=

a2+b2

sin(α+θ)將三角函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）+k形式．