Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a₂=2，S₁₁=66
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=(

1

4

)an．求證：{b_n}是等比數(shù)列，并求其前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式和前n項求和公式，將a₂=2，S₁₁=66分別用基本量表示，求出a₁和d，即可得到通項公式；
（2）利用等比數(shù)列的定義，證明

bn

bn-1

是一個常數(shù)，從而得到等比數(shù)列{b_n}的基本量，運用等比數(shù)列的前n項求和公式，即可得到答案．

解答：解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
∵a₂=a₁+d=2，S11=11a1+

11×10

2

d=66，
解得a₁=1，d=1，
∴a_n=n；
（2）由（1）可知，a_n=n，又b_n=(

1

4

)an，
∴bn=(

1

4

)n，
∴

bn

bn-1

=

( 1 4 )n

( 1 4 )n-1

=

1

4

，
∴數(shù)列{b_n}是以b1=

1

4

為首項，

1

4

為公比的等比數(shù)列，
∴數(shù)列{b_n}的前n項和Tn=

1 4 (1-( 1 4 )n)

1- 1 4

=

1

3

(1-(

1

4

)n)．

點評：本題考查了等差數(shù)列的通項公式求解，等比數(shù)列的證明，以及前n項和的求和公式．一般等比數(shù)列的證明是使用等比數(shù)列的定義，還可以通過等比中項的方法進行證明．等比數(shù)列求和公式應(yīng)用的時候要注意對q的分類討論．屬于中檔題．