Question

【題目】已知點(diǎn)F為橢圓（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)A為橢圓的右頂點(diǎn)，點(diǎn)B為橢圓的下頂點(diǎn)，橢圓上任意一點(diǎn)到點(diǎn)F距離的最大值為3，最小值為1.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若M、N在橢圓上但不在坐標(biāo)軸上，且直線(xiàn)AM∥直線(xiàn)BN，直線(xiàn)AN、BM的斜率分別為k1和k2，求證：k1k2＝e2﹣1（e為橢圓的離心率）.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)橢圓上任意一點(diǎn)到點(diǎn)F距離的最大值為3，最小值為1，則有求解.

（2）由（1）可知，A（2，0），B（0，），分別設(shè)直線(xiàn)AM的方程為y＝k（x﹣2），直線(xiàn)BN的方程為y＝kx，與橢圓方程聯(lián)立，用韋達(dá)定理求得點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，再利用斜率公式代入k1k2求解.

（1）由題意可知，，解得，

∴b2＝a2﹣c2＝3，

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；

（2）由（1）可知，A（2，0），B（0，），

設(shè)直線(xiàn)AM的斜率為k，則直線(xiàn)BN的斜率也為k，

故直線(xiàn)AM的方程為y＝k（x﹣2），直線(xiàn)BN的方程為y＝kx，

由得：（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12＝0，

∴，∴，，

∴，

由得：，

∴，，

∴，

∴，

，

∴k1k2，

又∵，

∴k1k2＝e2﹣1.