Question

8．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）與拋物線y²=4cx（其中c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$）交于A，B兩點，若|AB|=4c，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\sqrt{2}$+1

Answer 1

分析 由雙曲線和拋物線關(guān)于x軸對稱，可設(shè)A的縱坐標為2c，代入拋物線的方程可得，A的橫坐標為c，代入雙曲線的方程，運用離心率公式，解方程即可得到所求值．

解答 解：由雙曲線和拋物線關(guān)于x軸對稱，
可設(shè)A的縱坐標為2c，代入拋物線的方程可得，
A的橫坐標為$\frac{4{c}^{2}}{4c}$=c，
將A（c，2c）代入雙曲線的方程可得，
$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{4{c}^{2}}{^{2}}$=1，由e=$\frac{c}{a}$和c²=a²+b²，
可得e²-$\frac{4{e}^{2}}{{e}^{2}-1}$=1，即為e⁴-6e²+1=0，
解得e²=3+2$\sqrt{2}$（3-2$\sqrt{2}$舍去），
解得e=1+$\sqrt{2}$．
故選：D．

點評 本題考查雙曲線和拋物線的方程和性質(zhì)，主要考查離心率的求法，注意運用對稱性確定A的坐標是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．