Question

已知同一平面上的向量，，，滿足如下條件：
①； 
②； 
③，
則的最大值與最小值之差是    ．

Answer 1

【答案】分析：根據②③判斷出四邊形ABCQ是正方形，并建立坐標系，找出A，B，C及Q的坐標，設出P的坐標，利用向量的坐標運算求出的坐標，由①和向量的模列出關系式，化簡后可得到點P的軌跡方程，其軌跡方程為一個圓，找出圓心坐標和半徑，根據平面幾何知識即可得到|PQ|的最大值及最小值．
解答：解：根據②③畫出圖形如下：并以AB 為x軸，以AQ為y軸建立坐標系，

∵，∴，則四邊形ABCQ是矩形，
∵，∴AC⊥BQ，則四邊形ABCQ是正方形，
則A（0，0），B（2，0），Q（0，2），C（2，2），設P（x，y），
∴=（-x，-y）+（2-x，-y）=（2-2x，-2y），
∵，∴（2-2x）²+4y²=4，化簡得（x-1）²+y²=1，
則點P得軌跡是以（1，0）為圓心，以1為半徑的圓，
∴|PQ|是點Q（0，2）到圓（x-1）²+y²=1任一點的距離，
則|PQ|最大值是+1，最小值是-1，
即的最大值與最小值之差是2，
故答案為2．
點評：本題題考查了向量的線性運算的幾何意義，數量積的性質，以及圓的標準方程和兩點間的距離公式，解本題的關鍵是根據題意正確畫出圖形，并判斷出特征，再建立合適的平面直角坐標系，找出動點P的軌跡方程，難度較大，體現了向量問題、幾何問題和代數問題的轉化．