Question

（2008•海珠區(qū)一模）正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，分別取邊BC，CD的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連接AE，EF，AF，以AE，EF，AF為折痕，折疊這個(gè)正方形，使點(diǎn)B，C，D重合于一點(diǎn)P，得到一個(gè)四面體，如圖所示．
（1）求證：AP⊥EF；
（2）求證：平面APE⊥平面APF；
（3）求三棱錐P-AEF的體積．

Answer 1

分析：（1）通過(guò)∠APE=∠APF=90°，證明PA⊥平面PEF，然后證明AP⊥EF；
（2）利用∠APE=∠EPF=90°，證明PE⊥平面APF，然后證明平面APE⊥平面APF；
（3）利用VP-AEF=VA-PEF=

1

3

S△PEF•AP，求出幾何體的體積．

解答：（本小題滿分14分）
證明：（1）∵∠APE=∠APF=90°，
PE∩PF=P，
∴PA⊥平面PEF．…（3分）
又EF?平面PEF，
AP⊥EF；…5分
（2）∵∠APE=∠EPF=90°，AP∩PF=P，
∴PE⊥平面APF．…（8分）
又PE?平面APE，
∴平面APE⊥平面APF．…（10分）
（3）由（1）知PA⊥平面PEF，
∴VP-AEF=VA-PEF=

1

3

S△PEF•AP=

1

3

×

1

2

×

1

2

×

1

2

×1=

1

24

．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查空間線面關(guān)系，體積的求法，考查空間想像能力和推理論證能力，考查計(jì)算能力．