已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,nan=Sn+2n(n-1)(n∈N*).
(I)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;
(II)設(shè)Tn=
a1+1
22
+
a2+1
23
+…+
an+1
2n+1
,求Tn的值.
分析:(I)由nan=Sn+2n(n-1)結(jié)合通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的關(guān)系,轉(zhuǎn)化為an+1-an=4(n≥2)再由等差數(shù)列的定義求解,要注意分類討論.
(II)由(I)求得 an代入整理得
an+1
2n+1
=
4n-3+1
2n+1
=
2n-1
2n
是一個(gè)等差數(shù)列與等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)積的形式,用錯(cuò)位相減法求其前n項(xiàng)和.
解答:解:(I)因?yàn)镾n=nan-2(n-1)n,
所以當(dāng)n≥2時(shí),Sn-1=(n-1)an-1-2(n-2)(n-1).a(chǎn)n=Sn-Sn-1=nan-2(n-1)n-(n-1)an-1+2(n-2)(n-1),(2分)
即an-an-1=4(4分)
所以數(shù)列an是首項(xiàng)a1=1,公差d=4的等差數(shù)列,且an=1+(n-1)4=4n-3(n∈N*).(6分)
(II)因?yàn)?span id="nnpfbt3" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">
an+1
2n+1
=
4n-3+1
2n+1
=
2n-1
2n
,
所以Tn=
a1+1
22
+
a2+1
23
+…+
an+1
2n+1
=
1
2
+
3
22
+
5
23
++
2n-1
2n
.①(8分)
1
2
Tn=
1
22
+
3
23
+
5
24
+…+
2n-3
2n
+
2n-1
2n+1
.②..(10分)
①-②得
1
2
Tn=
1
2
+
1
2
+
1
22
++
1
2n-1
-
2n-1
2n+1
=
1
2
+
1
2
[1-(
1
2
)
n-1
]
1-
1
2
-
2n-1
2n+1
=
3
2
-
1
2n-1
-
2n-1
2n+1
=
3
2
-
2n+3
2n+1

所以Tn=3-
2n+3
2n
(12分)
點(diǎn)評:本題主要考查數(shù)列的轉(zhuǎn)化與通項(xiàng)公式和求和方法,這里涉及了通項(xiàng)與前n項(xiàng)和之間的關(guān)系及錯(cuò)位相減法,這是數(shù)列考查中?汲P碌膯栴},要熟練掌握.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且a1=1,Sn=n2an(n∈N),
(1)試計(jì)算S1,S2,S3,S4,并猜想Sn的表達(dá)式;
(2)證明你的猜想,并求出an的表達(dá)式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=
32
(an-1)
,n∈N+
(1)求an的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)n∈N+,集合An={y|y=ai,i≤n,i∈N+},B={y|y=4m+1,m∈N+}.現(xiàn)在集合An中隨機(jī)取一個(gè)元素y,記y∈B的概率為p(n),求p(n)的表達(dá)式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列
an
的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=1-an (n∈N*
(I )求數(shù)列
an
的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)已知數(shù)列
bn
的通項(xiàng)公式bn=2n-1,記cn=anbn,求數(shù)列
cn
的前n項(xiàng)和Tn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列an}的前n項(xiàng)和為sn,滿足(p-1)sn=p2-an,其中p為正常數(shù),且p≠1.
(1)求證:數(shù)列{an}為等比數(shù)列,并求出{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若存在正整數(shù)M,使得當(dāng)n≥M時(shí),a1a4a7…a3n-2>a36恒成立,求出M的最小值;
(3)當(dāng)p=2時(shí),數(shù)列an,2xan+1,2yan+2成等差數(shù)列,其中x,y均為整數(shù),求出x,y的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn
(Ⅰ)若數(shù)列an是等比數(shù)列,滿足2a1+a3=3a2,a3+2是a2,a4的等差中項(xiàng),求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)是否存在等差數(shù)列ann∈N*,使對任意n∈N*都有anSn=2n2(n+1)?若存在,請求出所有滿足條件的等差數(shù)列;若不存在,請說明理由.

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