Question

19．若f（x）=x+sinx，則使不等式f（x²-ax）+f（1-x）≤0在x∈[1，3]上成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． [1，+∞）
• B． [$\frac{7}{3}$，+∞）
• C． （-∞，1]
• D． （-∞，$\frac{7}{3}$]

Answer 1

分析 求導(dǎo)數(shù)便可判斷函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù)，并可判斷f（x）為奇函數(shù)，這樣便可由f（x²-ax）+f（1-x）≤0得出x²-ax≤x-1，從而得到$a≥x+\frac{1}{x}-1$，可以判斷函數(shù)$y=x+\frac{1}{x}-1$在[1，3]上的單調(diào)性，從而求出該函數(shù)在[1，3]上的最大值，這樣即可得出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：f′（x）=1+cosx≥0；
∴f（x）在R上為增函數(shù)；
且f（x）為奇函數(shù)；
∴由f（x²-ax）+f（1-x）≤0得，f（x²-ax）≤f（x-1）；
∴x²-ax≤x-1；
∴$a≥x+\frac{1}{x}-1$在x∈[1，3]上恒成立；
∵$x+\frac{1}{x}-1≥1$，當(dāng)x=1時(shí)取“=”；
∴$y=x+\frac{1}{x}-1$在[1，3]上單調(diào)遞增；
∴x=3時(shí)，$x+\frac{1}{x}-1$取最大值$\frac{7}{3}$；
∴$a≥\frac{7}{3}$；
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為$[\frac{7}{3}，+∞）$．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 考查根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，奇函數(shù)的概念及判斷，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性解不等式的方法，基本不等式的運(yùn)用，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值的方法，要熟悉函數(shù)$y=x+\frac{1}{x}-1$的圖象及單調(diào)性．