Question

已知函數(shù)，m∈R．
（Ⅰ）求f（x）的極值；
（Ⅱ）若lnx-ax＜0在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由導數(shù)運算法則知，，再利用導數(shù)與單調(diào)性關系解得即可；
（2）存在性問題，只需等價于只需在（0，+∞）上的最大值小于a即可，函數(shù)的最值問題利用導數(shù)解決．
解答：解：（Ⅰ）由導數(shù)運算法則知，．
令f'（x）=0，得x=e^m．（3分）
當x∈（0，e^m）時，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
當x∈（e^m，+∞）時，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．
故當x=e^m時，f（x）有極大值，且極大值為f（e^m）=e^-m．（6分）
（Ⅱ）欲使lnx-ax＜0在（0，+∞）上恒成立，只需在（0，+∞）上恒成立，
等價于只需在（0，+∞）上的最大值小于a．（9分）
設（x＞0），由（Ⅰ）知，g（x）在x=e處取得最大值．
所以，即a的取值范圍為．（13分）
點評：本題主要考查函數(shù)、導數(shù)、不等式等基礎知識，以及綜合運用上述知識分析問題和解決問題的能力．