Question

在△ABC中，若．

（Ⅰ）判斷△ABC的形狀；

（Ⅱ）在上述△ABC中，若角C的對邊，求該三角形內(nèi)切圓半徑的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）直角三角形；（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）先利用正弦定理和余弦定理把條件中關(guān)于角的等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于邊的等式，再整理化簡，通過最終的等式可以判斷三角形的形狀．

（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結(jié)果和切線的性質(zhì)把內(nèi)切圓的半徑用三角形的三條邊表示出來，再把三角邊轉(zhuǎn)化為角的形式，從而把問題轉(zhuǎn)化求三角函數(shù)的值域問題．

試題分析：（Ⅰ）根據(jù)正弦定理，原式可化為：，

再由余弦定理，上式可化為： ，

即 

消去整理得：，所以 即△ABC為直角三角形．

（Ⅱ）如圖，中，，的內(nèi)切圓分別與邊相切與點

由切線長定理知： 

 

 四邊形中，且 

四邊形為正方形， 

的半徑 

若設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則 ．

且，，

 

 

考點：1．正弦定理和余弦定理的應(yīng)用；2．直角三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)；3．三角恒等變換；4．三角函數(shù)的值域．