Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面是以O為中心的菱形，PO⊥底面ABCD，PO=

3

，AB=4，∠BAD=

π

3

，M為棱BC上一點，且BM=1．
（1）求二面角B-AP-M的平面角的余弦值；
（2）在側(cè)棱PD上確定一點N，使ON∥平面APM．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）連結AC，BD，以O為坐標原點，OA，OB，OP方向分別為x，y，z軸正方向，建立空間直角坐標系Oxyz．求出平面ABP的一個法向量和平面AMP的一個法向量，由此能求出二面角B-AP-M的余弦值．
（2）D（0，-2，0），

PD

=(0，-2，-

3

)．設

PN

=λ

PD

，由ON∥平面APM，得

ON

•

n2

=0，由此能求出當

PN

=

3

8

PD

時，有ON∥平面APM．

解答： 解：（1）連結AC，BD，
以O為坐標原點，OA，OB，OP方向分別為x，y，z軸正方向，
建立空間直角坐標系Oxyz．
因為四邊形ABCD為菱形，AB=4，∠BAD=

π

3

，
則A（2

3

，0，0），B（0，2，0），C（-2

3

，0，0），P（0，0，

3

）．

AB

=（-2

3

，2，0），

AP

=（-2

3

，0，

3

），

BP

=（0，-2，

3

）．…（2分）
設平面ABP的一個法向量為

n1

=（x₁，y₁，z₁），
則

AB • n1 =-2 3 x1+2y1=0 AP • n1 =-2 3 x1+ 3 z1=0

，
取x₁=1，得平面ABP的一個法向量為

n1

=（1，

3

，2）．…（4分）
又BM=1，

MB

=

1

4

CB

=（

3

2

，

1

2

，0），

MP

=

MB

+

BP

=（

3

4

，-

3

4

，h），

MP

=

MB

+

BP

=(

3

2

，-

3

2

，

3

)．  …（6分）
設平面AMP的一個法向量為

n2

=(x，y，z)，
則

AP • n2 =-2 3 x+ 3 z=0 MP • n2 = 3 2 x- 3 2 y+ 3 z=0

，
取z=2，得平面AMP的一個法向量為

n2

=（1，

5 3

3

，2）．…（8分）
二面角B-AP-M的平面角為α，
則cosα=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

1+5+4

8 • 1+ 25 3 +4

=

15

4

．…（10分）
（2）D（0，-2，0），

PD

=(0，-2，-

3

)．
設

PN

=λ

PD

=（0，-2λ，-

3

λ），…（12分）
則

ON

=

OP

+

PN

=（0，-2λ，

3

-

3

λ），
∵ON∥平面APM，∴

ON

•

n2

=-

10 3 λ

3

+2

3

(1-λ)=0，解得λ=

3

8

，
所以當

PN

=

3

8

PD

時，有ON∥平面APM．…（14分）

點評：本題考查滿足條件的點的坐標的確定，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意空間中線線、線面、面面間的位置關系和性質(zhì)的合理運用，是中檔題．