Question

設(shè)橢圓的左、右焦點分別為，上頂點為A，在x軸負(fù)半軸上有一點B，滿足三點的圓與直線相切.

（1）求橢圓C的方程；

（2）過右焦點作斜率為k的直線與橢圓C交于M，N兩點，線段MN的垂直平分線與x軸相交于點P（m，0），求實數(shù)m的取值范圍.

 

Answer 1

（1）；（2）

【解析】

試題分析：（1）連接，因為，可得 (1)

又因為的外接圓與直線相切，所以有 (1)

解由(1)(2)組成的方程組可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）由（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是,所以,設(shè)直線的方程為：，.由方程組：消去得,由韋達(dá)定理求出

的表達(dá)式,寫出線段MN的垂直平分線的方程,并求出的表達(dá)式,進(jìn)而用函數(shù)的方法求其取值范圍,要注意直線斜率不存在及斜率為0情況的討論.

【解析】
（1）連接，因為，，所以，

即，則，. 3分

的外接圓圓心為，半徑 4分

由已知圓心到直線的距離為，所以，解得，所以，，

所求橢圓方程為. 6分

（2）因為，設(shè)直線的方程為：，.

聯(lián)立方程組：，消去得. 7分

則，，

的中點為. 8分

當(dāng)時，為長軸，中點為原點，則. 9分

當(dāng)時，垂直平分線方程

令，所以

因為，所以，可得， 12分

綜上可得，實數(shù)的取值范圍是 13分

考點：1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2、直線與圓的位置關(guān)系；3、直線與橢圓的位置關(guān)系綜合問題。