Question

求下列函數(shù)的值域：
（1）y=x²-4x+6，x∈[1，5）；
（2）．

Answer 1

解：（1）配方得：y=x²-4x+6=（x-2）²+2．
∵x∈[1，5），∴0≤（x-2）²＜9，所以2≤y＜11．
從而函數(shù)的值域為{y|2≤y＜11}．
（2）原函數(shù)的定義域是{x|x≥1，x∈R}．令，
則t∈[0，+∞），x=t²+1．
∴y=2（t²+1）-t=2t²-t+2．
問題轉(zhuǎn)化為求y（t）=2t²-t+2，t∈[0，+∞）值域的問題．
，
∵t≥0，∴，．從而函數(shù)的值域為．
分析：（1）轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)y=x²-4x+6在區(qū)間x∈[1，5）上的最值問題，配方得，當x=2時，y取得最小值2，x=5時，y有最大值11；
（2）由，不妨設，t∈[0，+∞）原式可轉(zhuǎn)化為t的二次函數(shù)y（t）=2t²-t+2，在t∈[0，+∞）的最值問題．
點評：本題（1）是求二次函數(shù)在某一區(qū)間上的最值問題，關鍵是對稱軸在區(qū)間內(nèi)，在區(qū)間外？（2）通過設未知數(shù)（換元）轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)在某一區(qū)間上的最值問題，解法同（1）．