Question

8．設(shè)m＞0，雙曲線M：$\frac{{x}^{2}}{m}$-y²=1與圓N：x²+（y-m）²=1相切，A（-$\sqrt{m+1}$，0），B（$\sqrt{m+1}$，0），若圓N上存在一點P滿足|PA|-|PB|=2$\sqrt{m}$．則點P到x軸的距離為（　�。�

• A． m³
• B． m²
• C． m
• D． $\frac{m}{1+m}$

Answer 1

分析 求得雙曲線的a，b，c，焦點坐標(biāo)，運用雙曲線的定義可得P在雙曲線上，且P為雙曲線與圓相切的切點，設(shè)切點P（s，t），對雙曲線的方程兩邊對x求導(dǎo)，可得切線的斜率，再由圓的切線的性質(zhì)，可得s，t的方程，解方程可得t，即點P到x軸的距離．

解答 解：雙曲線M：$\frac{{x}^{2}}{m}$-y²=1的a=$\sqrt{m}$，b=1，c=$\sqrt{m+1}$，
由A（-$\sqrt{m+1}$，0），B（$\sqrt{m+1}$，0），
圓N上存在一點P滿足|PA|-|PB|=2$\sqrt{m}$，
可得A，B為雙曲線的焦點，
由雙曲線的定義可得P在雙曲線上，
且P為雙曲線與圓相切的切點，
設(shè)切點P（s，t），由雙曲線M：$\frac{{x}^{2}}{m}$-y²=1對x求導(dǎo)，可得：
$\frac{2x}{m}$-2yy′=0，可得切線的斜率為$\frac{s}{mt}$，
由切線與圓心和切點的連線垂直，可得：
$\frac{s}{mt}$•$\frac{m-t}{-s}$=-1，解得t=$\frac{m}{1+m}$．
即有點P到x軸的距離為$\frac{m}{1+m}$．
故選：D．

點評 本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，考查圓的切線的斜率求法，以及雙曲線的切線的斜率求法，考查運算能力，屬于中檔題．