Question

【題目】已知點(diǎn) 及圓 .
（1）設(shè)過(guò)點(diǎn) 的直線(xiàn) 與圓 交于 兩點(diǎn)，當(dāng) 時(shí)，求以線(xiàn)段 為直徑的圓 的方程；
（2）設(shè)直線(xiàn) 與圓 交于 兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù) ，使得過(guò)點(diǎn) 的直線(xiàn) 垂直平分弦 ？若存在，求出實(shí)數(shù) 的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】
（1）解：由于圓 的圓心 ，半徑為 ， ，而弦心距 ，
所以 ，所以 為 的中點(diǎn)，所以所求圓的圓心坐標(biāo)為 ，半徑為 ，
故以 為直徑的圓 的方程為：
（2）解：把直線(xiàn) 及 代入圓 的方程，消去 ，整理得：
，由于直線(xiàn) 交圓 于 ， 兩點(diǎn)，故 ，即 ，解得 ．則實(shí)數(shù) 的取值范圍是 ．
設(shè)符合條件的實(shí)數(shù) 存在，由于 垂直平分弦 ，故圓心 必在直線(xiàn) 上，所以 的斜率 ，所以 ，由于 ，故不存在實(shí)數(shù) ，使得過(guò)點(diǎn) 的直線(xiàn) 垂直平分弦 ．
【解析】(1)首先根據(jù)題意求出圓的半徑和圓心的坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求出弦心距由題意可知P 為 M N 的中點(diǎn)，所以可求出圓的圓心坐標(biāo)和 半徑為的值，進(jìn)而得到圓的方程。(2)根據(jù)題意聯(lián)立直線(xiàn)和圓的方程消元整理得到關(guān)于x的方程。由題意直線(xiàn)和圓由兩個(gè)交點(diǎn)故該方程的Δ>0進(jìn)而求出a的取值范圍，假設(shè)a存在結(jié)合 l2 垂直平分弦 A B ，故圓心 C ( 3 , 2 ) 必在直線(xiàn) l 2 上，求出l2的斜率進(jìn)而得到直線(xiàn)AB的斜率即a的值，該值不在a的取值范圍內(nèi)所以滿(mǎn)足條件的a的值是不存在的。