Question

已知函數(shù)y=3sin（

1

2

x+

π

3

），x∈R
（1）求出函數(shù)的最小正周期；
（2）求出函數(shù)的對稱軸方程、對稱中心；
（3）說明函數(shù)y=3sin（

1

2

x+

π

3

），x∈R的圖象可由y=sinx（x∈R）的圖象經(jīng)過怎樣的變換而得到．

Answer 1

考點：正弦函數(shù)的圖象,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）根據(jù)三角函數(shù)的周期公式即可求出函數(shù)的最小正周期；
（2）根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求出函數(shù)的對稱軸方程、對稱中心；
（3）根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）因為?=

1

2

…（1分）
所以T=

2π

?

=4π…．（2分）
（2）令

1

2

x+

π

3

=

π

2

+kπ，k∈z…..（3分）
解得：x=

π

3

+2kπ，k∈z…（4分）
所以，函數(shù)的對稱軸方程為：x=

π

3

+2kπ，k∈z…（5分）
令

1

2

x+

π

3

=kπ，k∈z…..（6分）
解得：x=-

2π

3

+2kπ，k∈z…（7分）
所以，函數(shù)的對稱中心為(-

2π

3

+2kπ，0)，k∈z…．（8分）
（3）方法一（先平移后伸縮）：
①將函數(shù)y=sinx的圖象向左平移

π

3

個單位，得到函數(shù)y=sin(x+

π

3

)的圖象；…．（10分）
②再將函數(shù)y=sin(x+

π

3

)圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標保持不變，得到函數(shù)y=sin(

1

2

x+

π

3

)的圖象；  …..（12分）
③最后將函數(shù)y=sin(

1

2

x+

π

3

)圖象上所有點的縱坐標伸長為原來的3倍，橫坐標保持不變得到函數(shù)y=3sin(

1

2

x+

π

3

)的圖象．…（14分）
方法二（先伸縮后平移）
①將函數(shù)y=sinx的圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標保持不變，得到函數(shù)y=sin

1

2

x的圖象；     …．（10分）
②再將函數(shù)y=sin

1

2

x的圖象向左平移

2

3

π個單位，得到函數(shù)y=sin(

1

2

x+

π

3

)的圖象；…．（12分）
最后將函數(shù)y=sin(

1

2

x+

π

3

)圖象上所有點的縱坐標伸長為原來的3倍，橫坐標保持不變得到函數(shù)y=3sin(

1

2

x+

π

3

)的圖象   …．（14分）

點評：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及三角函數(shù)的圖象變換關(guān)系，要求熟練掌握三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)．