已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an} 滿足
a
2
n+1
=2
a
2
n
+anan+1
,且a2+a4=2a3+4,其中n∈N*
(1)求數(shù)列{an} 的通項(xiàng)公式;
(2)令cn=1+
n
an
,記數(shù)列{an} 的前n項(xiàng)積為Tn,其中n∈N* 試比較Tn 與9的大小,并加以證明.
分析:(1)將an+12=2an2+anan+1,化簡(jiǎn)為(an+1+an)(2an-an+1)=0,又an>0,得出2an=an+1,數(shù)列{an}是公比為2的等比數(shù)列,故可求數(shù)列{an} 的通項(xiàng)公式;
(2)構(gòu)造函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x(x≥0),證得f(x)<f(0)=0,進(jìn)而利用放縮法、再利用錯(cuò)位相減法,即可得到結(jié)論.
解答:解:(1)因?yàn)閍n+12=2an2+anan+1,即(an+1+an)(2an-an+1)=0,
又an>0,所以有2an-an+1=0,所以2an=an+1,所以數(shù)列{an}是公比為2的等比數(shù)列.
由a2+a4=2a3+4得2a1+8a1=8a1+4,解得a1=2,故an=2n(n∈N*
(2)構(gòu)造函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x(x≥0),則f′(x)=-
x
1+x

當(dāng)x>0時(shí),f′(x)<0,即f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減
∴f(x)<f(0)=0,∴l(xiāng)n(1+x)-x<0
∴l(xiāng)ncn=ln(1+
n
an
)=ln(1+
n
2n
)<
n
2n

∴l(xiāng)nTn
1
2
+
2
22
…+
n
2n

記An=
1
2
+
2
22
…+
n
2n
①,則
1
2
An=
1
22
+
2
23
…+
n-1
2n
+
n
2n+1

∴①-②可得
1
2
An=
1
2
+
1
22
+
1
23
…+
1
2n
-
n
2n+1
=1-
n+2
2n+1
<1
∴An<2
∴l(xiāng)nTn<2
∴Tn<e2<9.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查等比數(shù)列的判定,性質(zhì)和數(shù)列的求和,考查構(gòu)造函數(shù),考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力,綜合性強(qiáng).
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足an+12=2an2+anan+1,a2+a4=2a3+4,其中n∈N*
(Ⅰ)求數(shù){an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)數(shù){bn}的前n項(xiàng)和Tn,令bn=an2,其中n∈N*,試比較
Tn+1+12
4Tn
2log2bn+1+2
2log2bn-1
的大小,并加以證明.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足an+12=2an2+anan+1,a2+a4=2a3+4,其中n∈N*
(Ⅰ)求數(shù){an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)數(shù){bn}的前n項(xiàng)和Tn,令bn=an2,其中n∈N*,試比較數(shù)學(xué)公式數(shù)學(xué)公式的大小,并加以證明.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:青島二模 題型:解答題

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足an+12=2an2+anan+1,a2+a4=2a3+4,其中n∈N*
(Ⅰ)求數(shù){an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)數(shù){bn}的前n項(xiàng)和Tn,令bn=an2,其中n∈N*,試比較
Tn+1+12
4Tn
2log2bn+1+2
2log2bn-1
的大小,并加以證明.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:《第2章 數(shù)列》、《第3章 不等式》2010年單元測(cè)試卷(陳經(jīng)綸中學(xué))(解析版) 題型:解答題

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足an+12=2an2+anan+1,a2+a4=2a3+4,其中n∈N*
(Ⅰ)求數(shù){an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)數(shù){bn}的前n項(xiàng)和Tn,令bn=an2,其中n∈N*,試比較的大小,并加以證明.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2012年高考復(fù)習(xí)方案配套課標(biāo)版月考數(shù)學(xué)試卷(二)(解析版) 題型:解答題

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足an+12=2an2+anan+1,a2+a4=2a3+4,其中n∈N*
(Ⅰ)求數(shù){an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)數(shù){bn}的前n項(xiàng)和Tn,令bn=an2,其中n∈N*,試比較的大小,并加以證明.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案