Question

18．家用電腦桌的桌面采用直線與弧線相結合，前部采用弧線，后部改用直線型．現(xiàn)將電腦桌靠在墻邊，沿墻面建立如圖所示的直角坐標系．弧線EF的方程為y=$\frac{60}{x}$（5≤x≤12）．鍵盤抽屜所在直線x+y-16=0與弧線交于A，B兩點．擬在弧線EF上選取一點P分別作x軸、y軸的垂線．垂足為C，D．四邊形OCPD（O為坐標原點）與三角形OAB的公共區(qū)域內放置電腦．設點P的坐標為（x，y）．公共部分面積為S．（單位：分米）
（1）求S關于x的表達式：
（2）求S的最大值及此時x的值．

Answer 1

分析 （1）由題意可知，A（6，10），B（10，6），分段討論即可求出相應的解析式；
（2）根據(jù)函數(shù)的單調性和基本不等式即可求出最值．

解答 解：（1）由題意可知，$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{60}{x}}\\{x+y-16=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=10}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=10}\\{y=6}\end{array}\right.$，
即A（6，10），B（10，6），
當5≤x≤6時，S=$\frac{8{x}^{2}}{15}$，
當6＜x＜10時，S=60-$\frac{3}{10}$（x²+$\frac{3600}{{x}^{2}}$），
當10≤x≤12時，S=$\frac{1920}{{x}^{2}}$，
故S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{8}{15}{x}^{2}，5≤x≤6}\\{60-\frac{3}{10}（{x}^{2}+\frac{3600}{{x}^{2}}），6＜x＜10}\\{\frac{1920}{{x}^{2}}，10≤x≤12}\end{array}\right.$；
（2）當當5≤x≤6時，S=$\frac{8{x}^{2}}{15}$為單調遞增函數(shù)，S≤$\frac{96}{5}$，
當6＜x＜10時，S=60-$\frac{3}{10}$（x²+$\frac{3600}{{x}^{2}}$）≤60-$\frac{3}{5}$$\sqrt{{x}^{2}+\frac{3600}{{x}^{2}}}$=24，當且僅當x=2$\sqrt{15}$時取等號
當10≤x≤12時，S=$\frac{1920}{{x}^{2}}$為單調遞減函數(shù)，S≤$\frac{96}{5}$，
綜上，S的最大值為24平方分米，此時x=2$\sqrt{15}$分米．

點評 本題考查函數(shù)在實際生活中的應用，考查了數(shù)學的建模能力，空間想象能力，數(shù)學閱讀能力和解決實際問題的能力，屬于中檔題．