Question

12．已知f（x）=e^x-lnx在x=x₀處的切線與x軸平行，若x₀∈D，則D可能是（　�。�

• A． （0，$\frac{1}{2}$）
• B． （$\frac{1}{2}$，1）
• C． （1，$\frac{3}{2}$）
• D． （$\frac{3}{2}$，2）

Answer 1

分析 求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，可得x₀${e}^{{x}_{0}}$-1=0，令g（x）=xe^x-1，x＞0，求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，再由零點存在定理，計算即可得到所求范圍．

解答 解：f（x）=e^x-lnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=e^x-$\frac{1}{x}$，
由x=x₀處的切線與x軸平行，可得
${e}^{{x}_{0}}$-$\frac{1}{{x}_{0}}$=0，即為x₀${e}^{{x}_{0}}$-1=0，
令g（x）=xe^x-1，x＞0，
g′（x）=（1+x）e^x＞0，可得g（x）在（0，+∞）遞增，
由g（0）=-1＜0，g（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$$\sqrt{e}$-1＜0，g（1）=e-1＞0，
g（$\frac{3}{2}$）=$\frac{3}{2}$${e}^{\frac{3}{2}}$-1＞0，g（2）=2e²-1＞0，
由函數(shù)的零點存在定理，可得g（x）的零點在（$\frac{1}{2}$，1）．
故選：B．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的斜率和單調(diào)性，考查函數(shù)的零點的范圍，注意運用零點存在定理，考查運算能力，屬于中檔題．