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10.已知x2-y2=4,則S=1x2-yx的值域為(-1,1).

分析 利用用參數(shù)方程表示雙曲線,再利用參數(shù)方程化簡所示代數(shù)式,利用配方法、結合函數(shù)圖象,研究二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結論.

解答 解:∵x2-y2=4,
∴設\left\{\begin{array}{l}{x=2secθ}\\{y=2tanθ}\end{array}\right.(θ為參數(shù),θ≠kπ+\frac{π}{2},k∈Z),
∴S=\frac{1}{{x}^{2}}-\frac{y}{x}=\frac{1}{4}cos2θ+sinθ=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}sin2θ+sinθ
=-\frac{1}{4}(sinθ-2)2+1.
∵θ≠kπ+\frac{π}{2},k∈Z,
∴sinθ∈(-1,1),
∵當sinθ=-1時,S=-1,
當sinθ=1時,S=1,
∴-1<S<1.
∴S=\frac{1}{{x}^{2}}-\frac{y}{x}的值域為(-1,1).
故答案為:(-1,1)

點評 本題考查函數(shù)值域的求解以及雙曲線的參數(shù)方程及其應用,利用換元法,轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù),利用一元二次函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)是解決本題的關鍵.

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