Question

10．已知x²-y²=4，則S=$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{y}{x}$的值域為（-1，1）．

Answer 1

分析 利用用參數(shù)方程表示雙曲線，再利用參數(shù)方程化簡所示代數(shù)式，利用配方法、結合函數(shù)圖象，研究二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結論．

解答 解：∵x²-y²=4，
∴設$\left\{\begin{array}{l}{x=2secθ}\\{y=2tanθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)，θ≠kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z），
∴S=$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{y}{x}$=$\frac{1}{4}$cos²θ+sinθ=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{4}$sin²θ+sinθ
=-$\frac{1}{4}$（sinθ-2）²+1．
∵θ≠kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
∴sinθ∈（-1，1），
∵當sinθ=-1時，S=-1，
當sinθ=1時，S=1，
∴-1＜S＜1．
∴S=$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{y}{x}$的值域為（-1，1）．
故答案為：（-1，1）

點評 本題考查函數(shù)值域的求解以及雙曲線的參數(shù)方程及其應用，利用換元法，轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)，利用一元二次函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)是解決本題的關鍵．