Question

設(shè)不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)镈_n,記D_n內(nèi)的格點(diǎn)(格點(diǎn)即橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))的個(gè)數(shù)為f(n)(n∈N^*).

(1)求f(1),f(2)的值及f(n)的表達(dá)式.(可以不作證明)

(2)記T_n=,若對(duì)于一切正整數(shù)n,總有T_n≤m成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

(3)求證:當(dāng)n∈N^*時(shí),++…+＜.

Answer 1

解:(1)f(1)=3,f(2)=6.直線y=-nx+3n恒過(guò)點(diǎn)(3,0)且斜率k=-n＜0,

∴x只能取1,2.當(dāng)x=1時(shí),y=2n,可取格點(diǎn)2n個(gè);當(dāng)x=2時(shí),y=n,可取格點(diǎn)n個(gè).

∴f(n)=3n.(2)T_n==,

∵==,當(dāng)n=1時(shí),＞1;當(dāng)n=2時(shí),=1;當(dāng)n≥3時(shí),＜1.

∴T₁＜T₂=T₃＞T₄＞…＞T_n.故T_n的最大值是T₂=T₃=,∴m≥.

(3)由(1)可知++…+=(++…+),

∵(++…+)²＜()［()²+()²+…+()²］

＜n［++…+］

=n(++…)=.

∴++…+＜,得證.