是否存在實(shí)數(shù)a,使得函數(shù)y=sin2x+acosx+
5
8
a-
3
2
在閉區(qū)間[0,
π
2
]
上的最大值是1?若存在,求出對(duì)應(yīng)的a值;若不存在,說(shuō)明理由.
分析:利用二倍角公式對(duì)函數(shù)解析式化簡(jiǎn)整理,進(jìn)而利用x的范圍確定cosx的范圍,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)a的范圍進(jìn)行分類(lèi)討論,求得函數(shù)的最大值.
解答:解:y=1-cos2x+acosx+
5
8
a-
3
2

=-(cosx-
a
2
)2
+
a2
4
+
5a
8
-
1
2

當(dāng)0≤x≤
π
2
時(shí),0≤cosx≤1,
a
2
>1,即a>2,則當(dāng)cosx=1時(shí)
ymax=a+
5
8
a-
3
2
=1,
∴a=
20
13
<2(舍去)
若0≤
a
2
≤1即0≤a≤2,則當(dāng)cosx=
a
2
時(shí),
ymax=
a2
4
+
5
8
a-
1
2
=1,
∴a=
3
2
或a=-4(舍去).
a
2
<0,即a<0時(shí),則當(dāng)cosx=0時(shí),
ymax=
5
8
a-
1
2
=1,
∴a=
12
5
>0(舍去).
綜上所述,存在a=
3
2
符合題設(shè).
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了三角函數(shù)的求最值.考查了學(xué)生分析推理的能力,基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

給出函數(shù)封閉的定義:若對(duì)于定義域D內(nèi)的任意一個(gè)自變量x0,都有函數(shù)值f(x0)∈D,稱(chēng)函數(shù)y=f(x)在D上封閉.
(1)若定義域D1=(0,1),判斷函數(shù)g(x)=2x-1是否在D1上封閉,并說(shuō)明理由;
(2)若定義域D2=(1,5],是否存在實(shí)數(shù)a,使得函數(shù)f(x)=
5x-ax+2
在D2上封閉?若存在,求出a的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(3)利用(2)中函數(shù),構(gòu)造一個(gè)數(shù)列{xn},方法如下:對(duì)于給定的定義域D2=(1,5]中的x1,令x2=f(x1),x3=f(x2),…,xn=f(xn-1),…在上述構(gòu)造數(shù)列的過(guò)程中,如果xi(i=1,2,3,4…)在定義域中,構(gòu)造數(shù)列的過(guò)程將繼續(xù)下去;如果xi不在定義域中,則構(gòu)造數(shù)列的過(guò)程停止.
①如果可以用上述方法構(gòu)造出一個(gè)無(wú)窮常數(shù)列{xn},求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
②如果取定義域中任一值作為x1,都可以用上述方法構(gòu)造出一個(gè)無(wú)窮數(shù)列{xn},求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知幾何體A-BCDE的三視圖如圖所示,其中俯視圖和側(cè)視圖都是腰長(zhǎng)為4的等腰直角三角形,正視圖為直角梯形.
(1)若幾何體A-BCDE的體積為16,求實(shí)數(shù)a的值;
(2)若a=1,求異面直線(xiàn)DE與AB所成角的余弦值;
(3)是否存在實(shí)數(shù)a,使得二面角A-DE-B的平面角是45°,若存在,請(qǐng)求出a值;若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2010•黃岡模擬)已知函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)為y=f-1(x),定義:若對(duì)給定的實(shí)數(shù)a(a≠0),函數(shù)y=f(x+a)與y=f-1(x+a)互為反函數(shù),則稱(chēng)y=f(x)滿(mǎn)足“a和性質(zhì)”.
(1)判斷函數(shù)g(x)=(x+1)2+1,x∈[-2,-1]是否滿(mǎn)足“1和性質(zhì)”,并說(shuō)明理由;
(2)若F(x)=kx+b,其中k≠0,x∈R滿(mǎn)足“2和性質(zhì)”,則是否存在實(shí)數(shù)a,使得F(9)<F(cos2θ+asinθ)<F(1)對(duì)任意的θ∈(0,π)恒成立?若存在,求出a的范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,圓C:x2-(1+a)x+y2-ay+a=0.
(Ⅰ)若圓C與x軸相切,求圓C的方程;
(Ⅱ)已知a>1,圓C與x軸相交于兩點(diǎn)M,N(點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)).過(guò)點(diǎn)M任作一條直線(xiàn)與圓O:x2+y2=4相交于兩點(diǎn)A,B.問(wèn):是否存在實(shí)數(shù)a,使得∠ANM=∠BNM?若存在,求出實(shí)數(shù)a的值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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