Question

【題目】已知，二次函數(shù)，關(guān)于的不等式的解集為，其中為非零常數(shù)，設(shè)．

（1）求的值；

（2）若存在一條與軸垂直的直線和函數(shù)的圖象相切，且切點的橫坐標(biāo)滿足，求實數(shù)的取值范圍；

（3）當(dāng)實數(shù)取何值時，函數(shù)存在極值？并求出相應(yīng)的極值點．

Answer 1

【答案】（1）；

（2）；

（3）若時，，函數(shù)極小值點為；若時，當(dāng)時，函數(shù)極小值點為，極大值點為（其中，）

【解析】

試題分析：（1）首先用向量的數(shù)量積公式代入到的表達(dá)式中，然后根據(jù)所給出的不等式解集即可求得的值；（2）若存在這樣的直線，則說明函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可為0，從而對函數(shù)求導(dǎo)后解得切點橫坐標(biāo)與的關(guān)系，根據(jù)不等式得到的范圍，進而求得實數(shù)的范圍；（3）當(dāng)函數(shù)存在極值時，其導(dǎo)數(shù)必為零點，因此先對函數(shù)求導(dǎo)，由于解析式中含實數(shù)，由此對導(dǎo)數(shù)進行分類討論，從而可求得極極值以及極值點．

試題解析：（1）∵，

∴二次函數(shù)，

關(guān)于的不等式的解集為，

也就是不等式的解集為，

∴和 是方程的兩個根，

由韋達(dá)定理得：，

∴

（2）由（1）得，

∴，

∵存在一條與軸垂直的直線和的圖象相切，且切點的橫坐標(biāo)為，

∴．

∵，∴．

令，則，

當(dāng)時，，

∴在上為增函數(shù)，

從而，∴

（3）的定義域為，

∴

方程 （*）的判別式

．

①若時，，方程（*）的兩個實根為，或，

則時，；時，，

∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

此時函數(shù)存在極小值，極小值點為可取任意實數(shù)，

②若時，當(dāng)，即時，恒成立，在上為增函數(shù)，

此時在上沒有極值

下面只需考慮的情況，由，得或，

當(dāng)，則，

故時，，

∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，

∴函數(shù)沒有極值．

當(dāng)時，，

則時，時，時，，

∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時函數(shù)存在極大值和極小值，極小值點，有極大值點．

綜上所述，若時，可取任意實數(shù)，此時函數(shù)有極小值且極小值點為；若時，當(dāng)時，函數(shù)有極大值和極小值，此時極小值點為，極大值點為（其中）