Question

如圖，在△ABC中，AD、BE分別是BC、AC邊上的高，∠C=60°，求證：
（1）△DCE∽△ACB；
（2）DE=

1

2

AB．

Answer 1

考點：相似三角形的判定

專題：立體幾何

分析：（1）由AD、BE分別是BC、AC邊上的高，可得∠ADB=∠BEA=90°，結合∠EOA=∠DOB，可得：△AOE∽△BOD，進而EO：DO=AO：BO，再由∠EOD=∠AOB，可得：△AOB∽△EOD，進而得到∠BED=∠DAB，再由∠ACB=∠DCE=60°，可得：△DCE∽△ACB；
（2）由∠DCE=60°，可得：△DCE與△ACB的相似比為1：2，進而得到DE=

1

2

AB．

解答： 證明：（1）∵△ABC中，AD、BE分別是BC、AC邊上的高，
∴∠ADB=∠BEA=90°，
又∵∠EOA=∠DOB，
∴△AOE∽△BOD，
∴EO：DO=AO：BO，
又∵∠EOD=∠AOB，
∴△AOB∽△EOD，
∴∠BED=∠DAB，
∴∠ABC=90°-∠DAB=∠DEC，
又∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴△DCE∽△ACB；

（2）∵∠DCE=60°，
故在Rt△ACD中，CD=

1

2

AC，
故

CD

CA

=

CE

CB

=

DE

AB

=2，
即DE=

1

2

AB

點評：本題考查的知識點是相似三角形的判定與性質，熟練掌握相似三角形的判定與性質，是解答的關鍵．