是否存在常數(shù),使等式對(duì)于一切都成立?若不存在,說(shuō)明理由;若存在,請(qǐng)用數(shù)學(xué)歸納法證明?
,證明詳見(jiàn)解析.
解析試題分析:先從特殊情形,等式必須成立,求出值,然后用數(shù)學(xué)歸納法加以證明,在這里必須指出的是:若題目沒(méi)有講要用數(shù)學(xué)歸納法證明,我們也應(yīng)從數(shù)學(xué)歸納法考慮,因?yàn)榈仁降淖筮呂覀儫o(wú)法通過(guò)數(shù)列求和的知識(shí)解決,其次本題是與自然數(shù)有關(guān)的命題證明,我們應(yīng)優(yōu)先考慮數(shù)學(xué)歸納法,證明時(shí)必須嚴(yán)格遵循數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟,做到規(guī)范化.
試題解析:若存在常數(shù)使等式成立,則將代入上式,有得,即有 對(duì)于一切成立. 5分
數(shù)學(xué)歸納法證明如下:
證明如下:(1)當(dāng)時(shí),左邊=,右邊=,所以等式成立,
(2)假設(shè)(且)時(shí)等式成立,即,
當(dāng)時(shí),
也就是說(shuō),當(dāng)時(shí),等式成立,
綜上所述,可知等式對(duì)任何都成立. 12分
考點(diǎn):數(shù)學(xué)歸納法.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題
將側(cè)棱相互垂直的三棱錐稱為“直角三棱錐”,三棱錐
的側(cè)面和底面分別叫直角三棱錐的“直角面和斜面”;過(guò)三棱錐頂點(diǎn)及斜面任兩邊中點(diǎn)的截面均稱為斜面的“中面”.已知直角三角形具有性質(zhì):“斜邊的中線長(zhǎng)等于斜邊邊長(zhǎng)的一半”.仿照此性質(zhì)寫出直角三棱錐具有的性質(zhì): .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
(1)已知a>b>c,且a+b+c=0,用分析法求證:<a.
(2)f(x)=,先分別求f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+f(3),然后歸納猜想一般性結(jié)論,并給出證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足.
(1)求,,,的值并寫出其通項(xiàng)公式;
(2)用三段論證明數(shù)列是等比數(shù)列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史,如圖(1)、(2)、(3)、(4)為她們刺繡最簡(jiǎn)單的四個(gè)圖案,這些圖案都是由小正方形構(gòu)成,小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮.現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同),設(shè)第n個(gè)圖形包含f(n)個(gè)小正方形.
(1)求出f(5)的值;
(2)利用合情推理的“歸納推理思想”,歸納出f(n+1)與f(n)之間的關(guān)系式,并根據(jù)你得到的關(guān)系式求出f(n)的表達(dá)式;
(3)求+++…+的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
設(shè)數(shù)列滿足a1=0且- = 1.
(1) 求的通項(xiàng)公式;
(2) 設(shè)bn=,記Sn=,證明:Sn<1.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題
對(duì)于命題:如果是線段上一點(diǎn),則;將它類比到平面的情形是:若是△內(nèi)一點(diǎn),有;將它類比到空間的情形應(yīng)該是:若是四面體內(nèi)一點(diǎn),則有__________________________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題
下面給出了關(guān)于復(fù)數(shù)的三種類比推理:
(1)復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算法則可以類比多項(xiàng)式的加減法運(yùn)算法則;
(2)由向量的性質(zhì)=類比得到復(fù)數(shù)的性質(zhì)
;
(3)由向量加法的幾何意義可以類比得到復(fù)數(shù)的加法的幾何意義。
其中類比錯(cuò)誤的是___________
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