Question

已知函數(shù)f（x）=ax-lnx-1，若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸．
（Ⅰ）求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）函數(shù)g（x）=f（x）-m（x-1）（m∈R）恰有兩個零點x₁，x₂（x₁＜x₂）．
   （i）求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間及實數(shù)m的取值范圍；
   （ii）求證：g′(

x1+x2

2

)＞0．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）求導函數(shù)，利用曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，即可求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）（i）求導函數(shù)，分類討論，利用函數(shù)g（x）=f（x）-m（x-1）（m∈R）恰有兩個零點x₁，x₂（x₁＜x₂），可得求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間及實數(shù)m的取值范圍；
（ii）由函數(shù)g（x）有兩個零點x₁，x₂（x₁＜x₂），可得

g(x1)=(1-m)(x1-1)-lnx1=0 g(x2)=(1-m)(x2-1)-lnx2=0.

，兩式相減，再用分析法，即可證明．

解答： （Ⅰ）解：由f′(x)=a-

1

x

，且f'（1）=0，…（2分）
解得a=1．…（3分）
（Ⅱ）（i）解：g（x）=（1-m）（x-1）-lnx，x∈（0，+∞）．
令g′(x)=1-m-

1

x

=

(1-m)x-1

x

，…（4分）
當1-m≤0即m≥1時，g'（x）＜0，
所以g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，此時只存在一個零點，不合題意；…（5分）
當m＜1時，令g'（x）=0，解得x=

1

1-m

．
當x變化時，g（x）和g'（x）變化情況如下表：
…（6分）
由題意可知，g(x)極小=g(

1

1-m

)=m+ln(1-m)．
設(shè)h（m）=m+ln（1-m），
當m=0時，h（0）=0即g（x）_極小=0，此時g（x）恰有一個零點，不合題意；…（7分）
當m≠0且m＜1時，h′(m)=1-

1

1-m

=

-m

1-m

，…（8分）
當m＜0時，h'（x）＞0，當0＜m＜1時，h'（x）＜0
所以h（m）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，在（0，1）上單調(diào)遞減，
所以h（m）＜h（0）=0，此時g（x）恰有兩個零點．
綜上，m的取值范圍是（-∞，0）∪（0，1）．…（9分）
（ii）證明：因為函數(shù)g（x）有兩個零點x₁，x₂（x₁＜x₂），
所以

g(x1)=(1-m)(x1-1)-lnx1=0 g(x2)=(1-m)(x2-1)-lnx2=0.

，
兩式相減得(1-m)(x2-x1)-ln

x2

x1

=0，所以1-m=

1

x2-x1

ln

x2

x1

．…（10分）
要證g′(

x1+x2

2

)＞0，
只要證1-m-

2

x1+x2

＞0，只要證

1

x2-x1

ln

x2

x1

-

2

x1+x2

＞0，
只要證ln

x2

x1

-

2(x2-x1)

x1+x2

＞0，…（11分）
只要證ln

x2

x1

-

2( x2 x1 -1)

x2 x1 +1

＞0．…（12分）ks5u
設(shè)φ(t)=lnt-

2(t-1)

t+1

(t＞1)，則φ′(t)=

(t-1)2

t(t+1)2

＞0，φ（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，…（13分）
所以φ（t）＞φ（1）=0，
所以g′(

x1+x2

2

)＞0．…（14分）

點評：本小題主要考查函數(shù)、函數(shù)與導數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力，運算求解能力，考查函數(shù)與方程的思想，數(shù)形結(jié)合的思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．