Question

已知直線l：（m-1）x+2my+2=0
（1）求證直線l必經(jīng)過第四象限；
（2）若直線l不過第三象限，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）求直線l在兩坐標軸上截距相等時的直線方程．

Answer 1

考點：直線的截距式方程,確定直線位置的幾何要素,直線的斜截式方程

專題：直線與圓

分析：（1）推導出直線l：（m-1）x+2my+2=0恒過定點（2，-1），由此能證明直線l必經(jīng)過第四象限．
（2）把直線l：（m-1）x+2my+2=0化為斜截式方程，由直線l不過第三象限，得到直線l的斜率不大于0，在y軸上的截距不小于0，由此能求出實數(shù)m的取值范圍．
（3）分別求出直線l：（m-1）x+2my+2=0的橫截距和縱截距，令二者相等，能求出直線l的方程．

解答： （1）證明：∵直線l：（m-1）x+2my+2=0，
∴（x+2y）m+（2-x）=0，
∴

x+2y=0 2-x=0

，解得x=2，y=-1，
∴直線l：（m-1）x+2my+2=0恒過定點（2，-1），
∴直線l必經(jīng)過第四象限．
（2）解：把直線l：（m-1）x+2my+2=0化為斜截式，得：
y=

1-m

2m

x-

1

m

，
∵直線l不過第三象限，
∴直線l的斜率不大于0，在y軸上的截距不小于0，
即

1-m 2m ≤0 - 1 m ≥0

，解得m＜0．
∴實數(shù)m的取值范圍是（-∞，0）．
（3）解：直線l：（m-1）x+2my+2=0中，
令x=0，得y=-

1

m

；令y=0，得x=

2

1-m

，
∵直線l在兩坐標軸上截距相等，
∴-

1

m

=

2

1-m

，解得m=-1，
∴直線l的方程為：x+y-1=0．

點評：本題考查直線過第四象限的證明，考查直線不過第三象限時實數(shù)的取值范圍的求法，考查直線方程的求法，解題時要認真審題，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．