Question

13．意大利著名數學家裴波那契在研究兔子繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144…其中從第三個數起，每一個數都等于它前面兩個數的和，人們把這樣的一列數所組成的數列{f_n}稱為“斐波那契數列”，“斐波那契數列”有很多優(yōu)美的性質．
（Ⅰ）通過計算，發(fā)現(xiàn)f₁²+f₂²=f₃，f₂²+f₃²=f₅，f₃²+f₄²=f₇，f₄²+f₅²=f₉，照此規(guī)律，請你寫出第n（n∈N^*）個等式；
（II）在金融市場中，“盧卡斯數列”與“斐波那契數列”無處不在，金融市場的時間和價格均服從斐波那契數列和魯卡斯數列，王居恭先生提出并論證了用魯卡斯數列預測股市變盤點的方法，有時準確率達到十分驚人的地步．“盧卡斯數列”{l_n}與“斐波那契數列”有密切的關系，它滿足：l₁=1，l_n=f_n+1+f_n-1（n≥2，n∈N^*），它的前6項是1，3，4，7，11，18．
計算$\frac{{f}_{2}}{{f}_{1}}$，$\frac{{f}_{4}}{{f}_{2}}$，$\frac{{f}_{6}}{{f}_{3}}$，$\frac{{f}_{8}}{{f}_{4}}$，判斷它們分別是{l_n}中的第幾項，請你依此規(guī)律歸納出一個正確的結論，并證明該結論及（Ⅰ）中你寫出的等式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得第n 個等式是f_n²+f_n+1²=f_2n+1，（n∈N^*），
（Ⅱ）代值計算，即可判斷第幾項，由此歸納出一個結論是：對任意  n∈N^*均有$\frac{{f}_{2n}}{{f}_{n}}$=l_n．用數學歸納法證明即可．

解答 解：（Ⅰ）第n 個等式是f_n²+f_n+1²=f_2n+1，（n∈N^*）
（Ⅱ）$\frac{{f}_{2}}{{f}_{1}}$=1，$\frac{{f}_{4}}{{f}_{2}}$=3，$\frac{{f}_{6}}{{f}_{3}}$=4，$\frac{{f}_{8}}{{f}_{4}}$=7，即 $\frac{{f}_{2}}{{f}_{1}}$，$\frac{{f}_{4}}{{f}_{2}}$，$\frac{{f}_{6}}{{f}_{3}}$，$\frac{{f}_{8}}{{f}_{4}}$，分別是{l_n}的第1，2，3，4項
由此歸納出一個結論是：對任意  n∈N^*均有$\frac{{f}_{2n}}{{f}_{n}}$=l_n．
下面我們用數學歸納法證明對任意n∈N^* 均有$\frac{{f}_{2n}}{{f}_{n}}$=l_n 和 f_n²+f_n+1²=f_2n+1
證明：（1）當 n=1時，$\frac{{f}_{2}}{{f}_{1}}$=1=l₁，f₁²+f₂²=f₃，等式成立；
（2）假設當n=k，（k∈N^*）時等式成立，即 $\frac{{f}_{2k}}{{f}_{k}}$=l_k且f_k²+f_k+1²=f_2k+1
則當n=k+1時，f_2k+2=f_2k+1+f_2k=f_k²+f_k+1²+f_kl_k=f_k+1²+f_k（l_k+f_k），
因為當k=1時，f₁+l₁=2=2f₂，
當k≥2時，l_k+f_k=f_k+f_k-1+f_k+1=f_k+1+f_k+1=2f_k+1，
所以 f_2k+2=f_k+1²+f_k（l_k+f_k）=f_k+1²+2f_kf_k+1=f_k+1（2f_k+f_k+1）
=f_k+1（f_k+2+f_k+1）=f_k+1l_k+1，
即 $\frac{{f}_{2k+2}}{{f}_{k+1}}$=l_k+1，
所以 f_k+1²+f_k+2²=f_k+1²+（f_k+f_k+1）²=f_k+1²+2f_kf_k+1+f_k+1²+f_k²=
f_2k+2+f_2k+1=f_2k+3，
所以，當n=k+1 時，等式也成立；
綜上，由（1）、（2）知，對任意n∈N^* 均有$\frac{{f}_{2n}}{{f}_{n}}$=l_n 和 f_n²+f_n+1²=f_2n+1．

點評 本題考查了歸納猜想的問題，以及數學歸納法，屬于中檔題．