Question

在△ABC中，BC=

5

，AC=3，sinC=2sinA
（Ⅰ）求AB的值．
（Ⅱ）求sin(2A-

π

4

)的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由BC，AC及sinC=2sinA，利用正弦定理即可求出AB的值；
（Ⅱ）由余弦定理表示出出cosA，把BC，AC及AB的值代入求出cosA的值，由A為三角形的內(nèi)角，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinA的值，從而利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式分別求出sin2A和cos2A的值，把所求式子利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡后，將sin2A和cos2A的值代入即可求出值．

解答：解：（Ⅰ）在△ABC中，BC=

5

，AC=3，sinC=2sinA，
則根據(jù)正弦定理

AB

sinC

=

BC

sinA

得：
AB=sinC

BC

sinA

=2BC=2

5

；
（Ⅱ）在△ABC中，AB=2

5

，BC=

5

，AC=3，
∴根據(jù)余弦定理得：cosA=

AB2+AC2-BC2

2AB•AC

=

2 5

5

，
又A為三角形的內(nèi)角，則sinA=

1-cos2A

=

5

5

，
從而sin2A=2sinAcosA=

4

5

，cos2A=cos2A-sin2A=

3

5

，
則sin(2A-

π

4

)=sin2Acos

π

4

-cos2Asin

π

4

=

2

10

．

點評：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有：正弦定理，余弦定理，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，以及兩角和與差的正弦函數(shù)公式，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵．