Question

在△ABC中，已知∠A=120°，AB=AC=2，D是BC邊的中點(diǎn)，若P是線段AD上任意一點(diǎn)，則

PA

•

PB

+

PA

•

PC

的最小值為

 

．

Answer 1

分析：通過(guò)解直角三角形求出邊BC，建立直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出各點(diǎn)的坐標(biāo)，求出三個(gè)向量的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積公式求出

PA

•

PB

+

PA

•

PC

，利用二次函數(shù)的對(duì)稱軸公式求出對(duì)稱軸，求出二次函數(shù)的最小值．

解答：解：∵∠A=120°，AB=AC=2，
∴BC=2×2sin60°=2

3

以DA為y軸，以BC為x軸，建立直角坐標(biāo)系則
B（-

3

，0），C（

3

，0)  A（0，1）
設(shè)P（0，y）
所以

PA

=(0，1-y)， 

PB

=(-

3

，-y) 

PC

=(

3

，-y）
所以

PA

•

PB

+

PA

•

PC

=2y2-2y（0≤y≤1）
對(duì)稱軸為y=

1

2

所以當(dāng)y=

1

2

時(shí)，最小值為-

1

2

故答案為：-

1

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查通過(guò)建立直角坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)形式的向量問(wèn)題、考查向量坐標(biāo)的求法、考查向量的數(shù)量積公式、考查二次函數(shù)的最值的求法．