Question

如圖，已知SA，SB，SC是由一點S引出的不共面的三條射線，∠ASC=∠ASB=45°，∠BSC=60°，∠SAB=90°，求證：AB⊥SC．

Answer 1

分析：首先設SC=a，SA=b，再由已知條件及余弦定理表示出AB、AC、BC，進而通過AB、AC、BC間的等量關系證得AB⊥AC的結論，進一步證得AB⊥平面SAC，最后證得AB⊥SC．

解答：證明：設SC=a，SA=b，則AB=b，SB=

2

b．
又AC²=a²+b²-2abcos45^°=a²+b²-

2

ab
BC²=a²+(

2

b)2-2

2

bacos60^°=a²+2b²-

2

ab．
∴AB²+AC²=b²+a²+b²-

2

ab=a²+2b²-

2

ab=BC²
∴∠BAC=90°，即AB⊥AC．
又AB⊥SA，且AC∩SA=A，
∴AB⊥平面SAC，
又SC?平面SAC，
∴AB⊥SC．

點評：本題主要考查線面垂直的判定、性質及余弦定理．