Question

已知函數(shù)f(x)=

x

1+|x|

 (x∈R)時(shí)，則下列結(jié)論不正確是

 

．
（1）?x∈R，等式f（-x）+f（x）=0恒成立；
（2）?m∈（0，1），使得方程|f（x）|=m有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根；
（3）?x₁，x₂∈R，若x₁≠x₂，則一定有f（x₁）≠f（x₂）；
（4）?k∈（1，+∞），使得函數(shù)g（x）=f（x）-kx在R上有三個(gè)零點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）中，由函數(shù)解析式，結(jié)合函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，易得函數(shù)f(x)=

x

1+|x|

 (x∈R)為奇函數(shù)，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義可判斷其真假；
（2）中，由函數(shù)的解析式我們易得函數(shù)f(x)=

x

1+|x|

 (x∈R)在R上單調(diào)遞增且值域?yàn)椋?1，1），則函數(shù)y=|f（x）|的值為（0，1），由此可判斷（2）的正誤；
（3）中由（2）中函數(shù)單調(diào)性的結(jié)論，易判斷（3）的對(duì)錯(cuò)；
（4）中，當(dāng)k∈（1，+∞），函數(shù)y=f（x）的圖象與函數(shù)y=kx的圖象僅有一個(gè)交點(diǎn)，由此易得（4）的真假．

解答：解：（1）、∵函數(shù)f(x)=

x

1+|x|

 (x∈R)為奇函數(shù)
∴f（-x）+f（x）=0恒成立，故（1）正確；
（2）、∵函數(shù)f(x)=

x

1+|x|

 (x∈R)的在R上單調(diào)遞增，且值域?yàn)椋?1，1）
∴函數(shù)y=|f（x）|在（-∞，0]上單調(diào)遞減，在[0，+∞）上單調(diào)遞增，且值域?yàn)閇0，1）
∴?m∈（0，1），方程|f（x）|=m均有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，故（2）正確；
（3）、∵函數(shù)f(x)=

x

1+|x|

 (x∈R)的在R上單調(diào)遞增，
∴x₁≠x₂?f（x₁）≠f（x₂），故（3）正確；
（4）、?k∈（1，+∞），函數(shù)y=f（x）的圖象與函數(shù)y=kx的圖象有且僅有一個(gè)交點(diǎn)
∴?k∈（1，+∞），函數(shù)g（x）=f（x）-kx有且只有一個(gè)零點(diǎn)
故（4）錯(cuò)誤．
故答案：（4）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用函數(shù)的性質(zhì)，判斷命題的真假，其中根據(jù)函數(shù)的解析式，準(zhǔn)確的分析函數(shù)的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．