【題目】如圖，在四棱錐中，底面是矩形，為的中點(diǎn)，底面，.

（1）求證：平面；

（2）求鈍二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）由線面垂直的性質(zhì)定理與矩形的性質(zhì)可證，再由線面垂直的判定定理可證平面，即，又由等腰三角形三線合一可知，最后由線面垂直的判定定理可證；

（2）由已知三條直線兩兩垂直，于是可以分別以射線、、為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，進(jìn)而表示點(diǎn)B,P,C,D的坐標(biāo)，即可表示向量，再分別表示平面與平面的法向量，最后由數(shù)量積計(jì)算夾角的余弦值.

（1）證明：∵平面，∴.

∵四邊形是矩形，所以，

由 平面，∴.

，為的中點(diǎn)，∴

由 平面.

（2）由已知三條直線兩兩垂直，于是可以分別以射線、、為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系.

則,

所以

設(shè)平面的法向量為，則

，令，則.

設(shè)平面的法向量為，則

，令，則.

.

設(shè)二面角的平面角為，由已知為鈍角，

∴.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖是某直三棱柱被削去上底后所得幾何體的左視圖、俯視圖、直觀圖，在直觀圖中，M是BD的中點(diǎn)，左視圖是直角梯形，俯視圖是等腰直角三角形，有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示.

（Ⅰ）求該幾何體的表面積和體積；

（Ⅱ）求點(diǎn)C到平面MAB的距離.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某書(shū)店剛剛上市了《中國(guó)古代數(shù)學(xué)史》，銷售前該書(shū)店擬定了5種單價(jià)進(jìn)行試銷，每種單價(jià)（元）試銷l天，得到如表單價(jià)（元）與銷量（冊(cè)）數(shù)據(jù)：

單價(jià)（元）

18

19

20

21

22

銷量（冊(cè)）

61

56

50

48

45

（l）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，請(qǐng)建立關(guān)于的回歸直線方程：

（2）預(yù)計(jì)今后的銷售中，銷量（冊(cè)）與單價(jià)（元）服從（l）中的回歸方程，已知每?jī)?cè)書(shū)的成本是12元，書(shū)店為了獲得最大利潤(rùn)，該冊(cè)書(shū)的單價(jià)應(yīng)定為多少元？

附：，，，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某家庭進(jìn)行理財(cái)投資，根據(jù)長(zhǎng)期收益率市場(chǎng)預(yù)測(cè)，投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的收益與投資額成正比，且投資1萬(wàn)元時(shí)的收益為萬(wàn)元，投資股票等風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品的收益與投資額的算術(shù)平方根成正比，且投資1萬(wàn)元時(shí)的收益為0.5萬(wàn)元，

（1）分別寫出兩種產(chǎn)品的收益與投資額的函數(shù)關(guān)系；

（2）該家庭現(xiàn)有20萬(wàn)元資金，全部用于理財(cái)投資，問(wèn)：怎樣分配資金能使投資獲得最大收益，其最大收益為多少萬(wàn)元？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】目前，新冠病毒引發(fā)的肺炎疫情在全球肆虐，為了解新冠肺炎傳播途徑，采取有效防控措施，某醫(yī)院組織專家統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)500名患者新冠病毒潛伏期的相關(guān)信息，數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)匯總整理得到如圖所示的頻率分布直方圖（用頻率作為概率）.潛伏期不高于平均數(shù)的患者，稱為“短潛伏者”，潛伏期高于平均數(shù)的患者，稱為“長(zhǎng)潛伏者”.

（1）求這500名患者潛伏期的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表），并計(jì)算出這500名患者中“長(zhǎng)潛伏者”的人數(shù)；

（2）為研究潛伏期與患者年齡的關(guān)系，以潛伏期是否高于平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分層抽樣，從上述500名患者中抽取300人，得到如下表格.

（i）請(qǐng)將表格補(bǔ)充完整；

短潛伏者

長(zhǎng)潛伏者

合計(jì)

60歲及以上

90

60歲以下

140

合計(jì)

300

（ii）研究發(fā)現(xiàn)，某藥物對(duì)新冠病毒有一定的抑制作用，現(xiàn)需在樣本中60歲以下的140名患者中按分層抽樣方法抽取7人做I期臨床試驗(yàn)，再?gòu)倪x取的7人中隨機(jī)抽取兩人做Ⅱ期臨床試驗(yàn)，求兩人中恰有1人為“長(zhǎng)潛伏者”的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】隨機(jī)抽取某校高一100名學(xué)生的期末考試英語(yǔ)成績(jī)（他們的英語(yǔ)成績(jī)都在80分140分之間），將他們的英語(yǔ)成績(jī)（單位：分）分成：，，，，六組，得到如圖所示的部分頻率分布直方圖，已知成績(jī)處于內(nèi)與內(nèi)的頻數(shù)之和等于成績(jī)處于內(nèi)的頻數(shù)，根據(jù)圖中的信息，回答下列問(wèn)題：

（1）求頻率分布直方圖中未畫出的小矩形的面積之和；

（2）求成績(jī)處于內(nèi)與內(nèi)的頻率之差；

（3）用分層抽樣的方法從成績(jī)不低于120分的學(xué)生中選取一個(gè)容量為6的樣本，將該樣本看成一個(gè)總體，從中任選2人，求這2人中恰有一人成績(jī)低于130分的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知點(diǎn),,點(diǎn)滿足,記點(diǎn)的軌跡為．

（1）求的方程；

（2）設(shè)直線與交于、兩點(diǎn),求的面積（為坐標(biāo)原點(diǎn)）；

（3）設(shè)是線段中垂線上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)作的兩條切線、,、分別為切點(diǎn),判斷是否存在定點(diǎn),直線始終經(jīng)過(guò)點(diǎn),若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】甲乙兩地的高速公路全長(zhǎng)166千米，汽車從甲地進(jìn)入該高速公路后勻速行駛到乙地，車速（千米/時(shí)）.已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分為，固定部分為220元.

(1)把全程運(yùn)輸成本（元）表示為速度（千米/時(shí)）的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；

(2)汽車應(yīng)以多大速度行駛才能使全程運(yùn)輸成本最��？最小運(yùn)輸成本為多少元？（結(jié)果保留整數(shù)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已如橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，為上的動(dòng)點(diǎn)．

（1）若，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，試用解析式將表示成的函數(shù)；

（2）試根據(jù)的不同取值，討論滿足為等腰銳角三角形的點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

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