在直徑為AB的半圓形區(qū)域內，劃出一個三角形區(qū)域，使三角形的一邊為AB，頂點C在半圓上，其他兩邊分別為6米和8米.先要建造一個內接于△ABC的矩形水池DEFN，其中，DE在AB上，圖2-5-20的設計方案是使AC=8米，BC=6米.

圖2-5-20

（1）求△ABC的邊AB上的高h.

（2）設DN=x，當x取何值時，水池DEFN的面積最大？

（3）實際施工時，發(fā)現(xiàn)在AB上距B點1.85米的M處有一棵大樹，問：這棵大樹是否位于最大矩形水池的邊上？如果為保護大樹，請設計出另外的方案，使內接于滿足條件的三角形中欲建的最大矩形水池能避開大樹.

思路分析:（1）利用三角形的面積，即斜邊×斜邊上的高=兩直角邊的積；（2）求最值問題時，利用三角形相似得到比例式，轉變成二次函數(shù)即可.

解:（1）∵直徑AB為△ABC的斜邊，∴AB==10米.

∴h==4.8米.

（2）∵=，∴AN=x.

又∵，

∴S矩形DEFN=x·(8-x)=x2＋10x=(x-)2＋12.

∴當x=時，Smax=12.

（3）∵BC2=OB·AB，∴OB=3.6.

∵，∴BE=1.8.同理，AD=3.2,∴AC=6，BC=8即可.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網如圖，某小區(qū)準備綠化一塊直徑為AB的半圓形空地，點C在半圓弧上，半圓內△ABC外的地方種草，△ABC的內接正方形PQRS內部為一水池，其余地方種花，若AB=2a，∠CAB=θ，設△ABC的面積為S1，正方形PQRS的邊長為x，面積為S2，將比值
S1
S2
稱為“規(guī)劃合理度”．
（1）求證：x=
2asin2θ
2+sin2θ
．
（2）當a為定值，θ變化是，求“規(guī)劃合理度”的最小值及此時角θ的大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，某小區(qū)準備綠化一塊直徑為AB的半圓形空地，點C在半圓弧上，半圓內△ABC外的地方種草，△ABC的內接正方形PQRS內部為一水池，其余地方種花，若AB=2a，∠CAB=θ，設△ABC的面積為S1，正方形PQRS的邊長為x，面積為S2，將比值數(shù)學公式稱為“規(guī)劃合理度”．
（1）求證：數(shù)學公式．
（2）當a為定值，θ變化是，求“規(guī)劃合理度”的最小值及此時角θ的大小．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在直徑為AB的半圓形區(qū)域內,劃出一個三角形區(qū)域,使三角形的一邊為AB,頂點C在半圓上,其他兩邊分別為6米和8米.先要建造一個內接于△ABC的矩形水池DEFN,其中,DE在AB上,下圖的設計方案是使AC =8米,BC =6米.

圖2-5-20

（1）求△ABC的邊AB上的高h.

（2）設DN =x,當x取何值時,水池DEFN的面積最大？

（3）實際施工時,發(fā)現(xiàn)在AB上距B點1.85米的M處有一棵大樹,問:這棵大樹是否位于最大矩形水池的邊上？如果為保護大樹,請設計出另外的方案,使內接于滿足條件的三角形中欲建的最大矩形水池能避開大樹.

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科目：高中數(shù)學 來源：2009-2010學年江蘇省南京市金陵中學高三（上）段考數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，某小區(qū)準備綠化一塊直徑為AB的半圓形空地，點C在半圓弧上，半圓內△ABC外的地方種草，△ABC的內接正方形PQRS內部為一水池，其余地方種花，若AB=2a，∠CAB=θ，設△ABC的面積為S1，正方形PQRS的邊長為x，面積為S2，將比值稱為“規(guī)劃合理度”．
（1）求證：．
（2）當a為定值，θ變化是，求“規(guī)劃合理度”的最小值及此時角θ的大小．

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