在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c，若
sinA+sinB
cosA+cosB
=2，且a+b=12；
（1）求tan（A+B）和sinC的值；
（2）求△ABC面積的最大值及取得最大值時a、b的值．
考點：正弦定理的應(yīng)用,三角函數(shù)的最值
專題：計算題,三角函數(shù)的求值,解三角形,不等式的解法及應(yīng)用
分析：（1）由和差化積公式和二倍角的正切公式，計算即可得到tan（A+B），再由誘導(dǎo)公式以及同角公式即可得到sinC；
（2）運用基本不等式，可得ab的最大值，由三角形的面積公式計算即可得到所求值．
解答： 解：（1）若
sinA+sinB
cosA+cosB
=2，
則
2sin
A+B
2
cos
A-B
2
2cos
A+B
2
cos
A-B
2
=2，即tan
A+B
2
=2，
則tan（A+B）=
2tan
A+B
2
1-tan2
A+B
2
=
2×2
1-22
=-
4
3
，
由tanC=
4
3
，即
sinC
cosC
=
4
3
，sin2C+cos2C=1，
可得sinC=
4
5
；
（2）由a+b=12，a+b≥2
ab
，
則ab≤36，
則有三角形ABC的面積S=
1
2
absinC≤
1
2
×36×
4
5
=
72
5
．
則有a=b=6時，面積取得最大值，且為
72
5
．
點評：本題考查三角函數(shù)的化簡和求值，考查和差化積公式和二倍角的正切公式，考查基本不等式的運用，以及三角形的面積公式，考查運算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知等差數(shù)列a1，a2，…，an，且n為奇數(shù)，此數(shù)列的奇數(shù)項之和、偶數(shù)項之和分別是168，140，求此數(shù)列的項數(shù)n和中間項．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

命題“?x∈R，sinx≠x-1”的否定是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知F為雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0，a≠b）的右焦點，過F點的直線l與一條漸近線l1垂直于點M，交另一條漸近線l2于N點．
（1）求M、N兩點的坐標(biāo)；
（2）求證：當(dāng)且僅當(dāng)b2=2a2時，線段MN的中點在雙曲線的左準(zhǔn)線x=-
a2
c
上．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的一個虛軸端點與兩個焦點均在函數(shù)y=
3cos(πx)
8
一個周期內(nèi)的圖象上，則雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知集合M={-1，0，1}，N={2，3，4，5}，映射f：M→N，當(dāng)且僅當(dāng)x∈M時，x+xf（x）+f（x）為奇數(shù)，則這樣的映射f的個數(shù)是多少？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知三棱錐D-ABC的三個側(cè)面與底面全等，且AB=AC=
3
，BC=2，則二面角A-BC-D的大小為（　�。�
A、arccos
3
3
B、arccos
1
3
C、
π
2
D、
2π
3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=x2，g（x）=ax（a＞0且a≠1），h（x）=logax（a＞0且a≠1），則對在其定義域內(nèi)的任意實數(shù)x1，x2，下列不等式總成立的是（　�。�
①f（
x1+x2
2
）≤
f(x1)+f(x2)
2

②f（
x1+x2
2
）≥
f(x1)+f(x2)
2

③g（
x1+x2
2
）≤
g(x1)+g(x2)
2

④h（
x1+x2
2
）≥
h(x1)+h(x2)
2
．
A、②④B、②③C、①④D、①③

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=
log3x．x＞0
cosπx，x＜0
的圖象上關(guān)于y軸對稱的點共有
 
對．

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