Question

設(shè)F（

1

2

，0），點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，且

AM

=2

AB

，

BA

•

BF

=0．
（1）當(dāng)點(diǎn)B在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡E的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)F是軌跡E上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)R，N在y軸上，圓（x-1）²+y²=1內(nèi)切于△PRN，求△PRN的面積的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1））設(shè)M（x，y），由

AM

=2

AB

，得點(diǎn)B為線段AM的中點(diǎn)，由

BA

•

BF

=-

1

2

x+

y2

4

=0，即可得到動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E的方程；
（2）設(shè)P（x₀，y₀），R（0，b），N（0，c），且b＞c，可得PR直線的方程為：（y₀-b）x-x₀y+x₀b=0，由直線PR、PN與題中的圓相切，運(yùn)用距離公式算出（x₀-2）b²+2y₀b-x₀=0、（x₀-2）c²+2y₀c-x₀=0，可得b、c是方程（x₀-2）x²+2y₀x-x₀=0的兩個(gè)根，運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系算出|b-c|關(guān)于x的式子，再代入計(jì)算△PRN的面積可得面積S關(guān)于x的表達(dá)式，最后利用基本不等式即可求出△PRN的面積的最小值．

解答： 解：（1）設(shè)M（x，y），由

AM

=2

AB

，得點(diǎn)B為線段AM的中點(diǎn)，
∴B（0，

y

2

），A（-x，0），
∴

BA

=（-x，-

y

2

），

BF

=（

1

2

，-

y

2

）．
由

BA

•

BF

=-

1

2

x+

y2

4

=0，得y²=2x．
所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E的方程為y²=2x；               

（2）設(shè)P（x₀，y₀），R（0，b），N（0，c），且b＞c，
∴PR直線的方程為y=

y0-b

x0

x+b，整理得l_PR：（y₀-b）x-x₀y+x₀b=0，
∵圓（x-1）²+y²=1內(nèi)切于△PRN，可得PR與圓相切，
∴

|y0-b+x0b|

(y0-b)2+x02

=1，
注意到x₀＞2，化簡(jiǎn)得：（x₀-2）b²+2y₀b-x₀=0，
同理可得：（x₀-2）c²+2y₀c-x₀=0，
因此，b、c是方程（x₀-2）x²+2y₀x-x₀=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，化簡(jiǎn)整理可得|b-c|=

4y02+4x0(x0-2)

|x0-2|

=

2x0

x0-2

，
由此可得△PRN的面積為S=

1

2

•

2x0

x0-2

•x₀=（x₀-2）+

4

x0-2

+4≥8，
∴當(dāng)x₀-2=

4

x0-2

時(shí)，即當(dāng)x₀=4時(shí)，△PRN的面積的最小值為8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．