【題目】已知橢圓： （）的兩個焦點為， ，離心率為，點， 在橢圓上， 在線段上，且的周長等于．

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）過圓： 上任意一點作橢圓的兩條切線和與圓交于點， ，求面積的最大值．

【答案】（1）；（2）取最大值.

【解析】試題分析：（1）由的周長為可得，由離心率得，進而的橢圓的標準方程；（2）先根據(jù)韋達定理證明兩切斜線斜率積為，進而得兩切線垂直，得線段為圓的直徑， ，然后根據(jù)不等式及圓的幾何意義求的最大值．

試題解析：（1）由的周長為，得， ，由離心率，得， ．所以橢圓的標準方程為： ．

（2）設，則．

（ⅰ）若兩切線中有一條切線的斜率不存在，則， ，另一切線的斜率為0，從而．此時， ．

（ⅱ）若切線的斜率均存在，則，設過點的橢圓的切線方程為，

代入橢圓方程，消并整理得： ．

依題意， ．

設切線， 的斜率分別為， ，從而，即．

線段為圓的直徑， ．

所以，

當且僅當時， 取最大值4．由（ⅰ）（ⅱ）可得： 最大值是4．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某中學從高三男生中隨機抽取100名學生，將他們的身高數(shù)據(jù)進行整理，得到下側的頻率分布表

（Ⅰ）求出頻率分布表中①和②位置上相應的數(shù)據(jù)；

（Ⅱ）為了能對學生的體能做進一步了解，該校決定在第3，4，5 組中用分層抽樣的方法抽取6 名學生進行體能測試，求第3，4，5 組每組各應抽取多少名學生進行測試；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，學校決定在6 名學生中隨機抽取2 名學生進行引體向上測試，求第4 組中至少有一名學生被抽中的概率.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】7人站成一排.（寫出必要的過程，結果用數(shù)字作答）

（1）甲、乙兩人相鄰的排法有多少種？

（2）甲、乙兩人不相鄰的排法有多少種？

（3）甲、乙、丙三人兩兩不相鄰的排法有多少種？

（4）甲、乙、丙三人至多兩人不相鄰的排法有多少種？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某大學藝術專業(yè)400名學生參加某次測評，根據(jù)男女學生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學生，記錄他們的分數(shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：，，…，，并整理得到如下頻率分布直方圖：

(1)從總體的400名學生中隨機抽取一人，估計其分數(shù)小于70的概率；

(2)已知樣本中分數(shù)小于40的學生有5人，試估計總體中分數(shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)；

(3)已知樣本中有一半男生的分數(shù)不小于70，且樣本中分數(shù)不小于70的男女生人數(shù)相等，試估計總體中男生和女生人數(shù)的比例.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】長時間用手機上網(wǎng)嚴重影響著學生的身體健康，某校為了解兩班學生手機上網(wǎng)的時長，分別從這兩個班中隨機抽取5名同學進行調查，將他們平均每周手機上網(wǎng)的時長作為樣本，繪制成莖葉圖如圖所示（圖中莖葉表示十位數(shù)字，葉表示個位數(shù)字）．

（1）分別求出圖中所給兩組樣本數(shù)據(jù)的平均值，并據(jù)此估計，哪個班的學生平均上網(wǎng)時間較長；

（2）從班的樣本數(shù)據(jù)中隨機抽取一個不超過19的數(shù)據(jù)記為，從班的樣本數(shù)據(jù)中隨機抽取一個不超過21的數(shù)據(jù)記為，求的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（）.

（1）若函數(shù)有零點，求實數(shù)的取值范圍；

（2）若對任意的，都有，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱柱中，為的重心，.

（1）求證：平面；

（2）若側面底面，，，求直線與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知曲線

(1)若，過點的直線交曲線于兩點，且，求直線的方程；

(2)若曲線表示圓時，已知圓與圓交于兩點，若弦所在的直線方程為， 為圓的直徑，且圓過原點，求實數(shù)的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若函數(shù)有且只有一個極值點，求實數(shù)的取值范圍；

（2）對于函數(shù)，，，若對于區(qū)間上的任意一個，都有，則稱函數(shù)是函數(shù)，在區(qū)間上的一個“分界函數(shù)”.已知，，問是否存在實數(shù)，使得函數(shù)是函數(shù)，在區(qū)間上的一個“分界函數(shù)”？若存在，求實數(shù)的取值范圍；若不存在，說明理由.

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