（2012•威海一模）如圖三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC⊥側(cè)面AA1C1C，△AA1C為等邊三角形，AB⊥BC且AB=BC，三棱錐B-AA1C的體積為
9
3
8
．
（I）求證：AC⊥A1B；
（II）求直線A1C與平面BAA1所成角的正弦值．
分析：（Ⅰ）取AC中點(diǎn)為O，利用線面垂直的判定定理證明AC⊥平面BOA1，即可證明AC⊥A1B；
（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面A1AB的法向量，利用向量的夾角公式，即可求直線A1C與平面A1AB所成角的正弦值．
解答：（I）證明：取AC中點(diǎn)為O，
∵AB=BC，∴BO⊥AC
∵△AA1C為等邊三角形，∴OA1⊥AC
∵OA1∩BO=O
∴AC⊥平面BOA1，
∴AC⊥A1B；
（II）解：設(shè)AC=a，則有
1
3
•
3
4
a2•
1
2
a=
9
3
8
，∴a=3
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則C（0，
3
2
，0），A1(
3
3
2
，0，0)，A(0，-
3
2
，0)，B(0，0，
3
2
)
A1C
=(-
3
3
2
，
3
2
，0)，
AB
=(0，
3
2
，
3
2
)，
AA1
=(
3
3
2
，
3
2
，0)

設(shè)平面A1AB的法向量為
n
=（x，y，1），則由
n
•
AB
=0
n
•
AA1
=0

可得
3
2
y+
3
2
=0
3
3
2
x+
3
2
y=0
，∴
x=
3
3
y=-1
，∴
n
=(
3
3
，-1，1)
∴cos＜
n
，
A1C
＞=
n
•
A1C
|
n
||
A1C
|
=-
21
7

∵直線A1C與平面A1AB所成角θ和向量
n
與
A1C
所成銳角互余，
∴直線A1C與平面BAA1所成角的正弦值為
21
7
．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查空間線面關(guān)系、直線與平面所成的角、三角函數(shù)等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力．
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（2012•威海一模）已知函數(shù)f（x）=x2+2bx過（1，2）點(diǎn)，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項(xiàng)和為Sn，則S2012的值為（　�。�

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（2012•威海一模）已知a∈（π，
3π
2
），cosα=-
5
5
，tan2α=（　　）

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（2012•威海一模）已知函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，設(shè)α=
λ
1+λ
，β=
1
1+λ
(λ≠1)，若有f（α）-f（β）＞f（1）-f（0），則λ的取值范圍是（　　）

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（2012•威海一模）復(fù)數(shù)z=1-i，則
1
z
+z=（　�。�

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（2012•威海一模）已知函數(shù)f（x）=
1
2
x2-ax+（a+1）lnx．
（Ⅰ）若曲線f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線與直線2x+3y+1=0垂直，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）在區(qū)間（0，+∞）單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（Ⅲ）若-1＜a＜3，證明：對(duì)任意x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，都有
f(x1)-f(x2)
x1-x2
＞1成立．

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