Question

2．過拋物線y=ax²（a＞$\frac{1}{12}$）的焦點F作圓C：x²+y²-8y+15=0的一條切線，切點為 M，若|FM|=2$\sqrt{2}$．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）直線l經過點F，且與拋物線交于點 A、B，若以 A B為直徑的圓與圓C相切，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）設焦點F（0，m），圓C：x²+（y-4）²=1，在△F MC中，由|FC|²=|F M|²+|MC|²得${（{4-m}）^2}={（{2\sqrt{2}}）^2}+{1^2}$，求出m，即可求實數(shù)a的值；
（2）根據(jù)對稱性，結合以AB為直徑的圓與圓C相切，求直線l的方程．

解答 解：（1）設焦點F（0，m），圓C：x²+（y-4）²=1，在△F MC中，
由|FC|²=|F M|²+|MC|²得${（{4-m}）^2}={（{2\sqrt{2}}）^2}+{1^2}$，
即4-m=±3，又m＜3，解得m=1，即$a=\frac{1}{4}$．（5分）
（2）由（1）知x²=4y，圓C：x²+（y-4）²=1．
設直線l：y=kx+1．
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+1\\{x^2}=4y\end{array}\right.$得x²-4kx-4=0．
設 A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4
所以$|{{A}{B}}|={y_1}+{y_2}+2=k（{{x_1}+{x_2}}）+4=4{k^2}+4$，A B中點Q（2k，2k²+1），
①若以A B為直徑的圓與圓C內切，則$\sqrt{4{k^2}+{{（{2{k^2}+1-4}）}^2}}=2{k^2}+2-1$，
解得${k^2}=\frac{2}{3}$．直線l：$y=\frac{{\sqrt{6}}}{3}x+1$或$y=-\frac{{\sqrt{6}}}{3}x+1$．（10分）
②若以A B為直徑的圓與圓C外切，則$\sqrt{4{k^2}+{{（{2{k^2}+1-4}）}^2}}=2{k^2}+2+1$，解得k=0．
所以直線l：y=1．
所以直線l：$y=\frac{{\sqrt{6}}}{3}x+1$或$y=-\frac{{\sqrt{6}}}{3}x+1$或y=1（12分）

點評 本題考查拋物線方程，考查圓與圓的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．