Question

在的展開式中，把，，，…，叫做三項式的次系數(shù)列．

（Ⅰ）例如三項式的1次系數(shù)列是1，1，1，填空：

三項式的2次系數(shù)列是 _________ ；

三項式的3次系數(shù)列是 _________ ．

（Ⅱ）二項式的展開式中，系數(shù)可用楊輝三角形數(shù)陣表示，如下

①當時，類似楊輝三角形數(shù)陣表，請列出三項式的次系數(shù)列的數(shù)陣表；

②由楊輝三角形數(shù)陣表中可得出性質(zhì)：，類似的請用三項式的次系數(shù)表示（無須證明）；

（Ⅲ）試用二項式系數(shù)（組合數(shù)）表示．

 

Answer 1

（Ⅰ）三項式的2次系數(shù)列是1,2,3,2,1；三項式的3此系數(shù)列是1,3,6,7,6,3,1.

（Ⅱ）①三項式的次系數(shù)的數(shù)陣表如下：

②觀察得：.

（Ⅲ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由，求得2次系數(shù)列．同理根據(jù)，求得3次系數(shù)列．（Ⅱ）①②如圖所示：根據(jù)三項式的2次系數(shù)列和3次系數(shù)列的定義，可得結(jié)論．

（Ⅲ）根據(jù)三項式的2次系數(shù)列和3次系數(shù)列的定義，再利用組合數(shù)公式的性質(zhì)，可用二項式系數(shù)表示

試題解析：（Ⅰ）三項式的2次系數(shù)列是1,2,3,2,1；三項式的3此系數(shù)列是1,3,6,7,6,3,1.

（Ⅱ）①三項式的次系數(shù)的數(shù)陣表如下：

②觀察得：.

（Ⅲ）因為，由（Ⅱ）②得，

，

，

，……，

所以，又，

所以由得，.

所以有，，，……，

所以將個式子累加得.

又，所以.

考點：二項式系數(shù)的性質(zhì)．