Question

14．已知正三角形ABC的邊長為2$\sqrt{3}$，平面ABC內(nèi)的動點P，M滿足|$\overrightarrow{AP}$|=1，$\overrightarrow{PM}$=$\overrightarrow{MC}$，則|$\overrightarrow{BM}$|²的最大值是（　�。�

• A． $\frac{43}{4}$
• B． $\frac{49}{4}$
• C． $\frac{37+6\sqrt{3}}{4}$
• D． $\frac{37+2\sqrt{33}}{4}$

Answer 1

分析 如圖所示，建立直角坐標系．B（0，0），C$（2\sqrt{3}，0）$．A$（\sqrt{3}，3）$．點P的軌跡方程為：$（x-\sqrt{3}）^{2}+（y-3）^{2}$=1，令x=$\sqrt{3}$+cosθ，y=3+sinθ，θ∈[0，2π）．又$\overrightarrow{PM}$=$\overrightarrow{MC}$，可得M$（\frac{3}{2}\sqrt{3}+\frac{1}{2}cosθ，\frac{3}{2}+\frac{1}{2}sinθ）$，代入|$\overrightarrow{BM}$|²=$\frac{37}{4}$+3sin$（θ+\frac{π}{3}）$，即可得出．

解答 解：如圖所示，建立直角坐標系．
B（0，0），C$（2\sqrt{3}，0）$．
A$（\sqrt{3}，3）$．
∵M滿足|$\overrightarrow{AP}$|=1，
∴點P的軌跡方程為：$（x-\sqrt{3}）^{2}+（y-3）^{2}$=1，
令x=$\sqrt{3}$+cosθ，y=3+sinθ，θ∈[0，2π）．
又$\overrightarrow{PM}$=$\overrightarrow{MC}$，則M$（\frac{3}{2}\sqrt{3}+\frac{1}{2}cosθ，\frac{3}{2}+\frac{1}{2}sinθ）$，
∴|$\overrightarrow{BM}$|²=$（\frac{3\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}cosθ）^{2}$+$（\frac{3}{2}+\frac{1}{2}sinθ）^{2}$=$\frac{37}{4}$+3sin$（θ+\frac{π}{3}）$≤$\frac{49}{4}$．
∴|$\overrightarrow{BM}$|²的最大值是$\frac{49}{4}$．
也可以以點A為坐標原點建立坐標系．
故選：B．

點評 本題考查了數(shù)量積運算性質(zhì)、圓的參數(shù)方程、三角函數(shù)求值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．