已知f(x)=2sinxcosx+2
3
cos2x-1-
3
．
（1）求f（x）的最大值及此時x的值；  
（2）求f（x）的單調遞增區(qū)間．
分析：（1）利用三角函數(shù)的二倍角公式進行降次，再用輔助角公式合并，可得（x）=2sin（2x+
π
3
）-1，最后用正弦函數(shù)圖象與性質，可得函數(shù)的最大值及此時x的值．
（2）由（1）的表達式，結合正弦函數(shù)單調區(qū)間的結論，解不等式并化簡，即可得到f（x）的單調遞增區(qū)間．
解答：解：（1）∵2sinxcosx=sin2x，2cos2x=1+cos2x
∴f(x)=2sinxcosx+2
3
cos2x-1-
3
=sin2x+
3
（1+cos2x）-1-
3
=sin2x+
3
cos2x-1
化簡，得f（x）=2sin（2x+
π
3
）-1
∴當2x+
π
3
=
π
2
+2kπ時，即x=
π
12
+kπ（k∈Z）時，函數(shù)有最大值1
（2）令-
π
2
+2kπ≤2x+
π
3
≤
π
2
+2kπ，得-
5π
12
+kπ≤x≤
π
12
+kπ，（k∈Z）
∴f（x）的單調遞增區(qū)間是[-
5π
12
+kπ，
π
12
+kπ]（k∈Z）
點評：本題給出一個特殊三角函數(shù)表達式，叫我們求函數(shù)的單調遞增區(qū)間并求函數(shù)最大值，著重考查了二倍角的三角函數(shù)公式和輔助角公式，以及正弦函數(shù)單調性等知識，屬于基礎題．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）已知f(x)的定義域為(-
1
2
，
3
2
)，則f(cosx)的定義域為
 
．
（2）設f（2sinx-1）=cos2x，則f（x）的定義域為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•鷹潭一模）已知命題：
（1）函數(shù)y=2sinx的圖象向右平移
π
6
個單位后得到函數(shù)y=2sin(x+
π
6
)的圖象；
（2）已知f(x)=
x+3，(x≤1)
-x2+2x+3，(x＞1)
，則函數(shù)g（x）=f（x）-ex的零點個數(shù)為2；
（3）函數(shù)y=log
1
2
(x2-5x+6)的單調增區(qū)間為(-∞，
5
2
)．
則以上命題中真命題個數(shù)為（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f(x)=
x2(x≤0)
-2sinx(0＜x≤π)
若f[f（x0）]=3，則x0=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源：浙江省浙大附中2012屆高三上學期期中考試數(shù)學理科試題 題型：044

已知f(x)＝2sinx＋．

(1)求f(x)的周期，并求x∈(0，π)時的單調增區(qū)間．

(2)在△ABC中，a、b、c分別是角A，B，C所對的邊，若A＝，且a＝，求·的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源：浙江省浙江大學附屬中學2012屆高三上學期期中考試數(shù)學理科試題 題型：044

已知f(x)＝2sinx＋

(1)求f(x)的周期，并求x∈(0，π)時的單調增區(qū)間．

(2)在△ABC中，a、b、c分別是角A，B，C所對的邊，若，且，求·的最大值．

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