Question

已知函數(shù)f（x）=x+xlnx．
（1）求函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)（1，1）處的切線方程；
（2）若k∈Z，且k（x-1）＜f（x）對(duì)任意x＞1恒成立，求k的最大值；
（3）當(dāng)n＞m≥4時(shí)，證明（mnⁿ）^m＞（nm^m）ⁿ．

Answer 1

（1）解：因?yàn)閒'（x）=lnx+2，所以f'（1）=2，
所以函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)（1，1）處的切線方程y=2x-1；…（3分）
（2）解：由（1）知，f（x）=x+xlnx，所以k（x-1）＜f（x）對(duì)任意x＞1恒成立，
即對(duì)任意x＞1恒成立．…（4分）
令，則，…（4分）
令h（x）=x-lnx-2（x＞1），則，
所以函數(shù)h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．…（5分）
因?yàn)閔（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-2ln2＞0，
所以方程h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一實(shí)根x₀，且滿(mǎn)足x₀∈（3，4）．
當(dāng)1＜x＜x₀時(shí)，h（x）＜0，即g'（x）＜0，當(dāng)x＞x₀時(shí)，h（x）＞0，即g'（x）＞0，…（6分）
所以函數(shù)在（1，x₀）上單調(diào)遞減，在（x₀，+∞）上單調(diào)遞增．
所以．…（7分）
所以k＜[g（x）]_min=x₀∈（3，4）．
故整數(shù)k的最大值是3．…（8分）
（3）證明：由（2）知，是[4，+∞）上的增函數(shù)，…（9分）
所以當(dāng)n＞m≥4時(shí)，．…（10分）
即n（m-1）（1+lnn）＞m（n-1）（1+lnm）．
整理，得mnlnn+mlnm＞mnlnm+nlnn+（n-m）．…（11分）
因?yàn)閚＞m，所以mnlnn+mlnm＞mnlnm+nlnn．…（12分）
即lnn^mn+lnm^m＞lnm^mn+lnnⁿ．即ln（n^mnm^m）＞ln（m^mnnⁿ）．…（13分）
所以（mnⁿ）^m＞（nm^m）ⁿ．…（14分）
分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，確定切線的斜率，即可求得切線方程；
（2）分離參數(shù)，求得函數(shù)的單調(diào)性，從而可得函數(shù)的最值，即可求得k的最大值；
（3）利用是[4，+∞）上的增函數(shù)，可得不等式，從而可證結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查恒成立問(wèn)題，考查不等式的證明，求得函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的最值是關(guān)鍵．