Question

【題目】已知函數(shù)（，為自然對數(shù)的底數(shù)）.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時，恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值.

Answer 1

【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.(2)-e.

【解析】試題分析：（1）由題意，利用導(dǎo)數(shù)法進(jìn)行討論，由可求出函數(shù)的增區(qū)間，可求出函數(shù)的減區(qū)間，同時對參數(shù)進(jìn)行分段討論，從而問題即可得解；（2）由題意，可構(gòu)造函數(shù)，由此可將問題轉(zhuǎn)化為計(jì)算，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)進(jìn)行運(yùn)算求解，從而問題可得解.

試題解析：（1）由題知，函數(shù)的定義域是.

，

當(dāng)時，對任意恒成立，

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，無單調(diào)遞減區(qū)間；

當(dāng)時，令，得；

令，得；

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，

單調(diào)遞減區(qū)間是.

（2）當(dāng)時，恒成立，

即為恒成立，

即為恒成立.

設(shè)，

則.

顯然在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，

所以當(dāng)時，；當(dāng)時，；

所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.

所以，

解得.

即實(shí)數(shù)的最小值是.