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14.已知函數(shù)f(x)=(1-ax)ex(x>0),其中e為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)當(dāng)a=2時(shí),求曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線與坐標(biāo)軸圍成的面積;
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.

分析 (1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),求得切線的斜率和切點(diǎn),可得切線的方程,求得與x,y軸的交點(diǎn),由三角形的面積公式,計(jì)算即可得到所求值;
(2)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過討論a的范圍,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.

解答 解:(1)f(x)=(1-2x)ex的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=ex2x2+1-2x),
可得在(1,-e)處的切線的斜率為e,
切線的方程為y+e=e(x-1),即為y=ex-2e,
令x=0,可得y=-2e;令y=0,可得x=2,
則切線與坐標(biāo)軸圍成的面積為:12×2×2e=2e;
(2)∵f(x)=(1-ax)ex(x>0),
∴f′(x)=x2ax+aexx2,
令g(x)=x2-ax+a=xa22+4aa24,(x>0),
①0≤a≤4時(shí),g(x)≥0,即f′(x)≥0,f(x)在(0,+∞)遞增;
②a<0時(shí),令g(x)>0,解得:x>a+a24a2,
令g(x)<0,解得:0<x<a+a24a2,
∴f(x)在(0,a+a24a2)遞減,在(a+a24a2,+∞)遞增;
③a>4時(shí),令g(x)>0,解得:x>a+a24a2或0<x<aa24a2,
令g(x)<0,解得:aa24a2<x<a+a24a2
∴f(x)在(0,aa24a2)遞增,在(aa24a2,a+a24a2)遞減,在(a+a24a2,+∞)遞增.

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性,求切線的方程,考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,直線方程的運(yùn)用,考查運(yùn)算能力,是一道中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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1.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C對邊的邊長分別是a,b,c.已知c=4,C=\frac{π}{3}
(1)若△ABC的面積等于4\sqrt{3},求a,b;
 (2)若sinB=2sinA,求△ABC的面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

2.定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x),滿足f(mn)=f(m)+f(n)(m,n>0),且當(dāng)x>1時(shí),f(x)>0.
①f(1)=0;  
②f(\frac{m}{n})=f(m)-f(n);
③若f(2)=1,不等式f(x+2)-f(2x)>2的解集為(0,\frac{2}{7});    
④f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減;
⑤f(\frac{m+n}{2})≥\frac{f(m)+f(n)}{2}
以上說法正確的個(gè)數(shù)是(  )
A.1B.2C.3D.4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

2.已知曲線C1的參數(shù)方程為\left\{\begin{array}{l}x=-t\\ y=\sqrt{3}t\end{array}(t為參數(shù)),當(dāng)t=1時(shí),曲線C1上的點(diǎn)為A,當(dāng)t=-1時(shí),曲線C1上的點(diǎn)為B.以原點(diǎn)O為極點(diǎn),以x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=\frac{6}{\sqrt{4+5sin^2θ}}
(1)求A、B的極坐標(biāo);
(2)設(shè)M是曲線C2上的動點(diǎn),求|MA|2+|MB|2的最大值.

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9.如圖,⊙O的半徑OB垂直于直徑AC,M為AO上一點(diǎn),BM的延長線交⊙O于N,過N點(diǎn)的切線CA的延長線于P.
(1)求證:PM2=PA•PC;
(2)若⊙O的半徑為2\sqrt{3},OA=OM,求MN的長.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

19.設(shè)函數(shù)f(x)=x-asinx,x∈[0,\frac{π}{2}].
(Ⅰ)當(dāng)a=2時(shí),求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若f(x)≤cosx,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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6.設(shè)函數(shù)f(x)=ax-(a+1)lnx,其中a≥-1,求f(x)的單調(diào)區(qū)間.

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3.極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系xOy有相同的長度單位,以原點(diǎn)O為極點(diǎn),以x軸正半軸為極軸.已知曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ=2\sqrt{2}sin(θ+\frac{π}{4}),曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρsinθ=a(a>0),射線θ=φ,θ=φ-\frac{π}{4},θ=φ+\frac{π}{2},與曲線C1分別交異于極點(diǎn)O的四點(diǎn)A、B、C、D.
(Ⅰ)若曲線C1關(guān)于曲線C2對稱,求a的值,并把曲線C1和曲線C2化成直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)求|OA|•|OC|+|OB|•|OD|的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

4.極坐標(biāo)系中,若ρ>0,則曲線ρ=2θ+1與ρθ=1的交點(diǎn)到極點(diǎn)的距離為2.

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