分析 (1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),求得切線的斜率和切點(diǎn),可得切線的方程,求得與x,y軸的交點(diǎn),由三角形的面積公式,計(jì)算即可得到所求值;
(2)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過討論a的范圍,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.
解答 解:(1)f(x)=(1-2x)ex的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=ex(2x2+1-2x),
可得在(1,-e)處的切線的斜率為e,
切線的方程為y+e=e(x-1),即為y=ex-2e,
令x=0,可得y=-2e;令y=0,可得x=2,
則切線與坐標(biāo)軸圍成的面積為:12×2×2e=2e;
(2)∵f(x)=(1-ax)ex(x>0),
∴f′(x)=(x2−ax+a)exx2,
令g(x)=x2-ax+a=(x−a2)2+4a−a24,(x>0),
①0≤a≤4時(shí),g(x)≥0,即f′(x)≥0,f(x)在(0,+∞)遞增;
②a<0時(shí),令g(x)>0,解得:x>a+√a2−4a2,
令g(x)<0,解得:0<x<a+√a2−4a2,
∴f(x)在(0,a+√a2−4a2)遞減,在(a+√a2−4a2,+∞)遞增;
③a>4時(shí),令g(x)>0,解得:x>a+√a2−4a2或0<x<a−√a2−4a2,
令g(x)<0,解得:a−√a2−4a2<x<a+√a2−4a2,
∴f(x)在(0,a−√a2−4a2)遞增,在(a−√a2−4a2,a+√a2−4a2)遞減,在(a+√a2−4a2,+∞)遞增.
點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性,求切線的方程,考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,直線方程的運(yùn)用,考查運(yùn)算能力,是一道中檔題.
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