在銳角△ABC中,已知cosA=
1
2
,BC=
3
,記△ABC的周長為f(B).
(1)求函數(shù)y=f(B)的解析式和定義域,并化簡其解析式;
(2)若f(B)=
3
+
6
,求f(B-
π
2
)
的值.
分析:(1)由題意可求得A角,利用正弦定理及內(nèi)角和等于π可把邊AC、AB用B角表示出來,從而求得解析式;根據(jù)各角為銳角及內(nèi)角和定理可求定義域.
(2)根據(jù)(1)所求解析式及f(B)=
3
+
6
可求得B角,進而可求出f(B-
π
2
)
的值.
解答:解:(1)由題意得A=
π
3
,由正弦定理,得
BC
sinA
=
AB
sinC
=
AC
sinB
,即
3
sin
π
3
=
AB
sinC
=
AC
sinB
,
所以AB=
3
sin
π
3
•sinC=2sinC,AC=2sinB,又B+C=
3
,
所以y=f(B)=AB+BC+AC=2sinC+2sinB+
3
=2sin(
3
-B)+2sinB+
3

=2sin
3
cosB-2cos
3
sinB+2sinB+
3

=3sinB+
3
cosB+
3
=2
3
sin(B+
π
6
)+
3

B+C=
3
0<B<
π
2
0<C<
π
2
,得
π
6
<B<
π
2

所以函數(shù)y=f(B)=2
3
sin(B+
π
6
)
+
3
,定義域為(
π
6
,
π
2
).
(2)f(B)=
3
+
6
,即2
3
sin(B+
π
6
)+
3
=
3
+
6
,
∴sin(B+
π
6
)=
2
2
,又
π
6
<B<
π
2
,∴B=
π
12
,
∴f(B-
π
2
)=2
3
sin(
π
12
-
π
2
)=2
3
sin
(-
12

=-2
3
sin(
π
6
+
π
4
)
=-2
3
(sin
π
6
cos
π
4
+cos
π
6
sin
π
4

=-2
3
×
2
+
6
4
=-
3
2
+
6
2

∴f(B-
π
2
)=-
3
2
+
6
2
點評:本題考查了函數(shù)解析式的求法及三角恒等變換,函數(shù)定義域的求解要考慮實際意義.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

在銳角△ABC中,已知BC=1,B=2A
(1)求
ACcosA
的值;
(2)求AC的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

在銳角△ABC中,已知內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,且滿足2sinBcosB=-
3
cos2B

(1)求B的大。
(2)如果b=
7
a=2,求△ABC的面積S△ABC

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

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(1)求角A的大小;       
(2)若b=1,且△ABC的面積為
3
3
4
,求a的值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

在銳角△ABC中,已知內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,且滿足2sinB(2cos2
B
2
-1)=-
3
cos2B.
(1)求B的大。
(2)如果b=2,求△ABC的面積S△ABC的最大值.

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