Question

設函數f(x)＝x2＋aln(x＋1)有兩個極值點x1，x2，且x1<x2.

(1)求實數a的取值范圍；

(2)當a＝時，判斷方程f(x)＝－的實數根的個數，并說明理由．

 

Answer 1

（1）0<a<（2）方程f(x)＝－有且只有一個實數根

【解析】(1)由f(x)＝x2＋aln(x＋1)，可得f′(x)＝2x＋ (x>－1)．

令g(x)＝2x2＋2x＋a(x>－1)，則其對稱軸為x＝－.由題意可知x1，x2是方程g(x)＝0的兩個均大于－1的不相等的實數根，其充要條件為解得0<a< .

(2)由a＝可知x1＝－，x2＝－，從而易知函數y＝f(x)在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增．

①由y＝f(x)在上單調遞增，且f＝＋·ln＝－ln 2>－，以及f＝＋·ln＝－－＋<－，故方程f(x)＝－在有且只有一個實根；

②由于y＝f(x)在上單調遞減，在上單調遞增，因此f(x)在上的最小值f＝＋·ln＝＋ln>－，故方程f(x)＝－在上沒有實數根．

綜上可知，方程f(x)＝－有且只有一個實數根